Una disequazione fratta è un tipo di disequazione che coinvolge una frazione, cioè un numero diviso per un altro numero. In particolare, una disequazione fratta avrà la forma:

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dove p(x) e q(x) sono funzioni polinomiali di x e < indica l'operatore di disuguaglianza. Per risolvere una disequazione fratta, dobbiamo seguire alcune regole fondamentali. In primo luogo, non possiamo mai dividere per zero, quindi dobbiamo contenere la frazione all'interno di un intervallo in cui q(x) è diverso da zero. Inoltre, dobbiamo considerare il segno di entrambe le funzioni p(x) e q(x), così da sapere quando la frazione diventa positiva o negativa. Inoltre, dobbiamo distinguere due casi a seconda che il segno di q(x) sia positivo o negativo. Se q(x) è positivo, allora il segno di p(x)/q(x) sarà uguale al segno di p(x). D'altra parte, se q(x) è negativo, allora il segno di p(x)/q(x) sarà opposto al segno di p(x). Per esempio, consideriamo la seguente disequazione fratta: \ In primo luogo, dobbiamo trovare i punti in cui q(x) si annulla, cioè x=3. Possiamo quindi dividere il piano reale in tre intervalli: x < 1, 1 < x < 3 e x > 3. In ogni intervallo dobbiamo determinare il segno di p(x), così da sapere quando la frazione è positiva o negativa.

In primo luogo, consideriamo il primo intervallo x < 1. In questo caso, entrambe le funzioni p(x) e q(x) sono negative, quindi la frazione è positiva. Pertanto, l'intervallo x < 1 soddisfa la disequazione. In secondo luogo, consideriamo l'intervallo 1 < x < 3. In questo caso, p(x) è negativo mentre q(x) è positivo, quindi la frazione è negativa. Pertanto, l'intervallo 1 < x < 3 non soddisfa la disequazione. Infine, consideriamo l'intervallo x > 3. In questo caso, entrambe le funzioni p(x) e q(x) sono positive, quindi la frazione è positiva. Pertanto, anche l’intervallo x > 3 soddisfa la disequazione.

In definitiva, la soluzione della disequazione fratta è:

\

In sintesi, le disequazioni fratte possono essere risolte trovando gli zeri della funzione polinomiale al denominatore e poi analizzando il segno della frazione in ciascun intervallo del dominio. É quindi necessario esaminare accuratamente ogni intervallo del dominio, in modo da determinare quando la frazione è negativa, positiva o nulla. Solitamente, la risoluzione di disequazioni fratte richiede un’attenta analisi e una buona comprensione delle proprietà delle funzioni polinomiali.

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