Le sono un concetto fondamentale dell’analisi matematica che ci permette di calcolare il tasso di variazione istantanea di una funzione in un punto. Tra le varie tecniche di derivazione, quella che utilizza le è particolarmente interessante e può essere utile in alcuni casi specifici. In questo articolo, esploreremo come utilizzare le radici quadrate per calcolare derivate.

Prima di addentrarci nell’argomento, è necessario sapere cosa sono le radici quadrate. La radice quadrata di un numero x, indicata con il simbolo √x, è quel numero che, elevato al quadrato, dà come risultato x. Ad esempio, la radice quadrata di 25 è 5, poiché 5*5=25.

Nel calcolo derivate, le derivate delle composte sono spesso più complesse da calcolare. Tuttavia, utilizzando le radici quadrate, possiamo semplificare questo processo. Consideriamo ad esempio una funzione del tipo f(x) = √(x^2 – 4). Vorremmo derivare questa funzione rispetto a x.

Per calcolare la derivata di questa funzione, possiamo utilizzare una delle proprietà delle radici quadrate. Siccome sappiamo che √(x^2)=|x|, dove |x| rappresenta il valore assoluto di x, possiamo semplificare la funzione originale come f(x) = √(x^2 – 4) = √(x^2 – 2^2) = √[(x-2)(x+2)].

A questo punto, possiamo applicare la regola derivata del prodotto per ottenere la derivata di f(x): f'(x) = (x-2)(x+2)’ + (x+2)(x-2)’.

Calcoliamo le derivate parziali delle due espressioni all’interno delle parentesi. La derivata di (x-2) rispetto a x è semplicemente 1, mentre la derivata di (x+2) rispetto a x è sempre 1.

Sostituendo queste derivate nella derivata di f(x), otteniamo f'(x) = (x-2) + (x+2) = 2x.

Come possiamo vedere, applicando le radici quadrate in questo esempio, siamo riusciti a semplificare la funzione originale e a calcolare la sua derivata in modo più efficiente.

Un altro caso in cui le radici quadrate possono essere utili nel calcolo delle derivate è quando ci troviamo di fronte a equazioni che coinvolgono la derivata di un quadrato di una funzione. Ad esempio, consideriamo la funzione g(x) = (x^2 – 25)^2.

Per calcolare la derivata di questa funzione, possiamo utilizzare la regola della derivata del quadrato di una funzione. Applicandola, otteniamo g'(x) = 2(x^2 – 25)(x^2 – 25)’.

Calcoliamo ora la derivata di (x^2 – 25) rispetto a x, utilizzando la regola della derivata per la differenza di due quadrati. La derivata di questa espressione è g'(x) = 2(x^2 – 25)(2x) = 4x(x^2 – 25).

In conclusione, utilizzando le radici quadrate, siamo in grado di semplificare le funzioni e calcolare le loro derivate in modo più semplice ed efficiente. Questa tecnica si rivela particolarmente utile in casi specifici, come nel calcolo delle derivate delle funzioni composte o delle funzioni contenenti quadrati.

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