Le frazionarie sono uno dei concetti fondamentali della calcolo differenziale. Le funzioni frazionarie sono quelle in cui il denominatore contiene una variabile elevata ad una potenza diversa da zero, come ad esempio f(x) = x^2 / (x + 1).

Per calcolare la derivata di una funzione frazionaria, dobbiamo applicare la regola del quoziente. Questa regola stabilisce che la derivata di una funzione frazionaria è uguale alla differenza tra il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore, meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, tutto diviso per il quadrato del denominatore.

Nell’esempio precedente, abbiamo f(x) = x^2 / (x + 1). Per calcolare la sua derivata, dobbiamo prima ottenere le derivate dei due termini. La derivata del numeratore, x^2, è 2x. La derivata del denominatore, (x + 1), è 1. Applicando la formula della regola del quoziente, otteniamo:

f'(x) = (1 * x^2 – 2x * (x + 1)) / (x + 1)^2

Semplificando l’espressione, otteniamo:

f'(x) = (x^2 – 2x^2 – 2x) / (x + 1)^2

f'(x) = (-x^2 – 2x) / (x + 1)^2

Questa è la derivata della funzione f(x) = x^2 / (x + 1).

Possiamo applicare la regola del quoziente per calcolare la derivata delle funzioni frazionarie anche in altri casi. Ad esempio, se abbiamo una funzione del tipo f(x) = 1 / x^n, la sua derivata sarà:

f'(x) = (0 * x^n – 1 * n * x^(n-1)) / (x^n)^2

Semplificando l’espressione, otteniamo:

f'(x) = – n / x^(n+1)

Altri esempi di funzioni frazionarie includono f(x) = (3x^2 + 2x – 1) / (2x^2 – x + 3), oppure f(x) = (x^3 – 2x^2 + 3x – 4) / (x^4 – 5x^3 + 6x^2 – 7x + 8). In tutti questi casi, possiamo applicare la regola del quoziente per calcolare le rispettive derivate.

In conclusione, le derivate delle funzioni frazionarie sono calcolate applicando la regola del quoziente. Questa regola ci permette di ottenere la derivata di una funzione frazionaria come la differenza tra il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore, meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, tutto diviso per il quadrato del denominatore. Questo concetto è fondamentale per lo studio delle funzioni nel calcolo differenziale e trova applicazione in molti ambiti scientifici e ingegneristici.

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