La del di x, denotato come ln(x), è un concetto fondamentale nel calcolo differenziale. Per calcolare questa derivata, utilizziamo la regola catena e le proprietà dei logaritmi.

Iniziamo prendendo la definizione naturale del logaritmo come l’integrale definito di 1/x. Questo significa che ln(x) = ∫(1/x)dx. Ora, per trovare la derivata di ln(x), dobbiamo applicare la regola della catena al lato destro dell’equazione.

La regola della catena ci dice che, se f(g(x)) è una funzione composta, allora la sua derivata può essere calcolata come f'(g(x)) * g'(x). Applicando questa regola all’integrale definito di 1/x, otteniamo:

d/dx (ln(x)) = d/dx (∫(1/x)dx) = (1/x) * d/dx (x)

Ora, la derivata di x rispetto a se stesso, ovvero d/dx (x), è semplicemente 1. Pertanto, possiamo semplificare ulteriormente l’espressione come segue:

d/dx (ln(x)) = (1/x) * 1 = 1/x

Quindi, la derivata del logaritmo naturale di x è uguale a 1 diviso x.

Possiamo anche esprimere questo risultato in forma simbolica scrivendo:

d/dx (ln(x)) = 1/x

Questo significa che la pendenza della retta tangente al grafico di ln(x) in ogni punto x è uguale a 1 diviso x.

È interessante notare che, se consideriamo la derivata seconda di ln(x), otteniamo:

d^2/dx^2 (ln(x)) = d/dx (1/x) = -1/x^2

Questo significa che la derivata seconda di ln(x) è uguale a -1 diviso x .

La derivata del logaritmo di base diversa da e è simile alla derivata del logaritmo naturale di x. Per esempio, per il logaritmo di base a, la derivata di log_a (x) è data da:

d/dx (log_a (x)) = (1/x) * (1/ln(a))

Dove ln(a) rappresenta il logaritmo naturale di a.

Infine, per calcolare la derivata di una funzione composta che include un logaritmo, possiamo utilizzare la regola della catena. Ad esempio, se abbiamo f(x) = ln(g(x)), la derivata di f(x) è data da:

d/dx (ln(g(x))) = (1/g(x)) * g'(x)

Dove g'(x) rappresenta la derivata di g(x) rispetto a x.

In conclusione, la derivata del logaritmo naturale di x è 1 diviso x. Questo concetto è fondamentale nel calcolo differenziale e ci permette di calcolare la pendenza della retta tangente al grafico del logaritmo naturale di x in ogni punto x.

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