La derivata dell’Arctan è una delle regole più importanti quando si tratta di trovare la derivata di funzioni trigonometriche inverse. L’Arctan, abbreviazione di arcotangente, è la funzione inversa della tangente e viene ampiamente utilizzata in matematica per calcolare angoli.

Per calcolare la derivata dell’Arctan, utilizziamo l’identità trigonometrica che afferma che la derivata dell’Arctan di x è uguale a 1 diviso per 1 più x al quadrato. In altre parole, la derivata dell’Arctan di x è uguale a 1 diviso per 1+x².

Questa regola può essere dimostrata usando il concetto di derivata e la definizione di limite. Iniziamo con la funzione Arctan(x) e calcoliamo il suo limite quando x tende a un certo valore. Utilizziamo la definizione di limite per trovare il rapporto incrementale tra il valore di Arctan(x) e il valore di x.

Dopo alcuni calcoli, otteniamo che il limite del rapporto incrementale tra Arctan(x) e x, quando x tende a un certo valore, è uguale a 1 diviso per 1+x². Questo significa che la derivata dell’Arctan di x è uguale a 1 diviso per 1+x².

Questo risultato è particolarmente utile in molti problemi che coinvolgono la derivata di funzioni trigonometriche inverse. Ad esempio, consideriamo il problema di trovare la derivata della funzione y = Arctan(2x). Utilizzando la regola appena descritta, possiamo calcolare la derivata di questa funzione come il prodotto della derivata dell’Arctan di 2x per la derivata di 2x rispetto a x.

La derivata dell’Arctan di 2x è data dalla regola che abbiamo appena visto, ovvero 1 diviso per 1+(2x)². La derivata di 2x rispetto a x è semplicemente 2. Quindi, la derivata di y rispetto a x, o dy/dx, è uguale a (1/(1+(2x)²)) * 2.

Questa regola può essere estesa a qualsiasi funzione che coinvolge l’Arctan. Ad esempio, se abbiamo la funzione y = Arctan(ax+b), la sua derivata sarà uguale a (1/(1+(ax+b)²)) * a.

In sintesi, la derivata dell’Arctan è una regola molto utile quando si tratta di calcolare la derivata di funzioni trigonometriche inverse. Utilizzando l’identità trigonometrica che afferma che la derivata dell’Arctan di x è uguale a 1 diviso per 1+x², possiamo calcolare facilmente la derivata di funzioni che coinvolgono l’Arctan. Questa regola è particolarmente utile in molti problemi di matematica e fisica, dove l’Arctan viene ampiamente utilizzata per calcolare angoli e proporzioni.

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