Per iniziare, dobbiamo ricordare che un fattore primo di un numero è un numero primo che divide esattamente quel numero, senza lasciare resto. Pertanto, dobbiamo cercare i numeri primi che sono fattori di X3.
Il primo passo consiste nel verificare se X3 è un numero primo. Se così fosse, non sarebbe possibile scomporlo in fattori primi, in quanto un numero primo è solo divisibile per se stesso e per l’unità. Tuttavia, supponiamo che X3 non sia un numero primo.
Per proseguire nella scomposizione, cerchiamo il fattore primo più piccolo di X3. Possiamo farlo provando i numeri primi in ordine crescente, partendo dal numero due. Proviamo quindi se 2 è un fattore di X3. Se 2 non è un fattore di X3, cerchiamo se il passo successivo, cioè 3, è un fattore di X3. Proseguiamo in questo modo fino a quando non troviamo il fattore primo più piccolo che divide X3.
Supponiamo che il fattore primo più piccolo di X3 sia p. In tal caso, possiamo scrivere X3 come p * Y, dove Y corrisponde al risultato della divisione tra X3 e p. A questo punto, abbiamo scomposto X3 in due fattori: p e Y.
Ora ripetiamo il processo appena descritto per il fattore Y appena ottenuto. Continuiamo a trovare il fattore primo più piccolo di Y e scomporre Y fino a quando non raggiungiamo un fattore primo di Y che è maggiore della radice quadrata di Y. Quando raggiungiamo questo punto, il fattore rimanente di Y sarà esso stesso un numero primo, poiché se fosse un prodotto di due numeri primi, uno dei due sarebbe minore della radice quadrata di Y e lo avremmo già individuato in precedenza.
Dopo aver scomposto Y in fattori primi, otteniamo la scomposizione completa di X3 in fattori primi. Possiamo scrivere X3 come il prodotto dei fattori primi individuati durante il processo.
Ecco un esempio pratico: supponiamo che X3 sia uguale a 144. Iniziamo considerando il fattore primo più piccolo, che è 2. Possiamo scrivere 144 come 2 * 72. Ora scomponiamo il fattore 72: possiamo scriverlo come 2 * 36. Continuando, otteniamo 2 * 2 * 18 e, infine, 2 * 2 * 2 * 9.
Raggiungendo questo punto, non possiamo continuare a scomporre 9 in fattori primi minori della sua radice quadrata, quindi otteniamo che 9 è un fattore primo. Quindi, la scomposizione completa di 144 in fattori primi è 2 * 2 * 2 * 3 * 3.
In conclusione, la scomposizione di X3 in fattori primi richiede di trovare il fattore primo più piccolo di X3, scomporre X3 in due fattori, scomporre il fattore ottenuto e ripetere il processo fino a quando non raggiungiamo un fattore primo che è maggiore della radice quadrata del fattore rimanente. Alla fine, otteniamo la scomposizione completa di X3 in fattori primi.