Le sono una parte fondamentale del calcolo differenziale. L’obiettivo è di trovare la derivata di una che è composta da due o più funzioni razionali. Per fare ciò, è necessario scomporre la frazione in termini di frazioni parziali, la derivata di ciascuna frazione parziale e infine sommare le derivate ottenute.

Per capire meglio come calcolare le derivate delle frazioni parziali, prendiamo in considerazione un esempio semplice. Supponiamo di avere la seguente funzione:

????(????) = ????² / (???? – 1) (???? – 2)

Per calcolare le derivate delle frazioni parziali, dobbiamo scomporre la funzione in frazioni parziali. Per fare ciò, utilizziamo il metodo delle frazioni parziali. Nel nostro esempio, la scomposizione in frazioni parziali sarà:

????(????) = ???? / (???? – 1) + ???? / (???? – 2)

Dove ???? e ???? sono le costanti che dobbiamo determinare. Moltiplichiamo entrambi i membri dell’equazione per il denominatore :

????² = ????(???? – 2) + ????(???? – 1)

Espandiamo la parentesi e semplifichiamo:

????² = (???????? – 2????) + (???????? – ????)

Uguagliamo i coefficienti dei termini corrispondenti:

1????² = (???? + ????)???? + (– 2???? – ????)

Ora possiamo determinare i valori di ???? e ???? risolvendo le equazioni:

???? + ???? = 1
–2???? – ???? = 0

Risolviamo il sistema di equazioni per determinare i valori delle costanti:

???? = 1/3
???? = 2/3

Otteniamo quindi la scomposizione della frazione originale:

????(????) = 1/3 / (???? – 1) + 2/3 / (???? – 2)

Ora che abbiamo scomposto la frazione in frazioni parziali, possiamo procedere al calcolo delle derivate. La derivata di una frazione parziale può essere calcolata utilizzando il principio di derivazione di funzioni composte.

La derivata della prima frazione parziale è:

d/d???? (1/3 / (???? – 1)) = 1/3 * d/d???? (1/(???? – 1)) = 1/3 * (– 1/(???? – 1)²)

La derivata della seconda frazione parziale è:

d/d???? (2/3 / (???? – 2)) = 2/3 * d/d???? (1/(???? – 2)) = 2/3 * (– 1/(???? – 2)²)

Infine, sommiamo le derivate ottenute:

d/d???? (????(????)) = 1/3 * (– 1/(???? – 1)²) + 2/3 * (– 1/(???? – 2)²)

Questa è la derivata della frazione originale. Possiamo semplificarla ulteriormente, se necessario.

Calcolare le derivate delle frazioni parziali può sembrare un processo complicato, ma seguendo i passaggi corretti e utilizzando i principi del calcolo differenziale, è possibile ottenere il risultato corretto. Questo tipo di calcolo è molto utile in matematica e in molte altre discipline scientifiche, dove il calcolo differenziale trova ampio utilizzo.

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