Calcolando limiti mediante procedura passo-passo

Il calcolo dei limiti è un argomento fondamentale nello studio del calcolo infinitesimale, con applicazioni in diversi campi della matematica e della fisica. Per determinare il limite di una funzione f(x) quando x tende ad un certo valore, possiamo utilizzare una procedura passo-passo, che ci guida nella risoluzione del problema in modo sistematico.

Per iniziare, analizziamo un esempio per comprendere meglio la procedura. Consideriamo la funzione f(x) = (3x^2 – 4) / (x – 1) e calcoliamo il limite di f(x) quando x tende ad 1.

Il primo passo consiste nel sostituire direttamente il valore di x nell’espressione della funzione. Otteniamo così f(1) = (3(1)^2 – 4) / (1 – 1) = -1/0, che è una forma indeterminata.

Per risolvere questa forma indeterminata, il secondo passo è quello di semplificare l’espressione facendo uso delle proprietà delle operazioni algebriche. In questo caso, possiamo osservare che sia il numeratore che il denominatore contengono un fattore comune di (x – 1). Possiamo quindi semplificarli e ottenere f(x) = 3x + 1.

Il terzo passo consiste nel sostituire nuovamente il valore di x nella nuova espressione semplificata. Otteniamo così f(1) = 3(1) + 1 = 4.

Abbiamo quindi ottenuto il limite della funzione f(x) quando x tende ad 1: lim(x->1) f(x) = 4.

Questa procedura passo-passo può essere applicata a diverse situazioni, anche più complesse. Ad esempio, se ci viene richiesto di calcolare il limite di f(x) = (2x^3 – 5x + 1) / (x^2 – 3x + 2) quando x tende ad 2, possiamo seguire la procedura come segue.

Nel primo passo, sostituiamo il valore di x nell’espressione della funzione. Otteniamo f(2) = (2(2)^3 – 5(2) + 1) / ((2)^2 – 3(2) + 2) = -3/0, che è di nuovo una forma indeterminata.

Nel secondo passo, semplifichiamo l’espressione. In questo caso, possiamo osservare che sia il numeratore che il denominatore contengono come fattore comune (x – 2). Semplificando, otteniamo f(x) = (2x – 1) / (x – 1).

Nel terzo e ultimo passo, sostituiamo nuovamente il valore di x nella nuova espressione semplificata. Otteniamo f(2) = (2(2) – 1) / (2 – 1) = 3/1 = 3.

Il limite della funzione f(x) quando x tende ad 2 è quindi lim(x->2) f(x) = 3.

In conclusione, calcolare i limiti mediante una procedura passo-passo ci permette di affrontare in modo organizzato e sistematico il problema. Sostituire il valore di x, semplificare l’espressione e sostituire nuovamente il valore di x ci guiderà verso la determinazione del limite desiderato. Ricordiamo che questa procedura può essere applicata a varie situazioni, anche più complesse, e ci permette di affrontare in modo efficace il calcolo dei limiti delle funzioni matematiche.