Gli asintoti in matematica sono delle linee immaginarie che una curva si avvicina sempre di più senza mai toccarla. Queste linee possono essere di diversi tipi, come gli asintoti verticali, orizzontali o obliqui. In questo articolo, ci focalizzeremo sugli asintoti obliqui e su come calcolarli.

Prima di tutto, dobbiamo capire cos’è un . Un asintoto obliquo è una retta che il grafico di una funzione si avvicina man mano che x si allontana all’infinito o meno l’infinito. Una funzione può avere al massimo un asintoto obliquo. Per calcolarlo, dobbiamo dividere il polinomio di grado superiore per quello di grado inferiore.

Supponiamo di avere una funzione f(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (x + 1). Per determinare se questa funzione ha un asintoto obliquo, dobbiamo dividere il polinomio di grado superiore per quello di grado inferiore. In questo caso, il polinomio di grado superiore è 2x^2 + 3x + 1 e il polinomio di grado inferiore è x + 1.

Utilizzando la divisione sintetica o un metodo simile, possiamo ottenere il quoziente e il resto della divisione. Nel nostro esempio, otteniamo il quoziente 2x + 1 e il resto -2. Poiché il quoziente non è costante, ma è una funzione lineare, e il resto è diverso da zero, possiamo dedurre che la funzione non ha un asintoto orizzontale.

Dobbiamo ora verificare se la funzione ha un asintoto obliquo. Per farlo, osserviamo il coefficiente del termine di grado massimo nel quoziente, nel nostro caso 2x. Quindi, tracciamo la retta y = 2x nel sistema di coordinate.

Ora dobbiamo determinare l’intersezione tra questa retta e la nostra funzione, che otteniamo facendo lim x->inf [f(x) – 2x]. Nel nostro esempio, abbiamo f(x) = (2x^2 + 3x + 1) / (x + 1) – 2x. Effettuando i calcoli, otteniamo lim x->inf [(2x^2 + 3x + 1) – 2x(x + 1) / (x + 1)]. Semplificando, otteniamo lim x->inf [x^2 – x – 1 / x + 1], che equivale a lim x->inf (x – 1 – 1/x + 1) = lim x->inf (x – 2).

Pertanto, l’intersezione tra la retta y = 2x e la funzione f(x) è data da x = 2. Adesso possiamo disegnare la retta y = 2x e tracciare una linea tratteggiata dal punto (2, 4) verso l’infinito sul grafico della nostra funzione f(x), rappresentando in questo modo obliquo.

In conclusione, per un asintoto obliquo dobbiamo seguire alcuni passaggi. Dobbiamo dividere il polinomio di grado superiore per quello di grado inferiore e ottenere il quoziente e il resto. Se il quoziente non è costante e il resto è diverso da zero, la funzione non ha un asintoto orizzontale. Successivamente, tracciamo la retta corrispondente al coefficiente del termine di grado massimo nel quoziente e calcoliamo l’intersezione con la funzione originale. Infine, disegniamo la retta e tracciamo una linea tratteggiata sul grafico della funzione verso l’infinito, rappresentando così l’asintoto obliquo.

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