Distribution de Dirac

La distribution de Dirac, souvent appelée impulsion de Dirac, est un concept mathématique qui joue un rôle important en théorie des distributions et en analyse fonctionnelle. Elle a été introduite par le physicien et mathématicien Paul Dirac dans les années 1940 pour modéliser des phénomènes physiques tels que les impulsions, les chocs ou les atomes. La distribution de Dirac est représentée par le symbole δ(x), où x est une variable réelle. Cette distribution est définie de manière formelle comme suit : ∫ f(x) δ(x) dx = f(0), où f(x) est une fonction test (une fonction régulière à support compact), et ∫ représente l'intégrale. Cette formule signifie que lorsque la fonction test est multipliée par la distribution de Dirac et intégrée sur l'ensemble réel, le résultat est égal à la valeur de la fonction test en zéro. La distribution de Dirac présente des propriétés intéressantes. Tout d'abord, son intégrale sur l'ensemble réel est égale à 1, c'est-à-dire ∫ δ(x) dx = 1. Ceci peut être interprété comme une sorte de normalisation de cette distribution. En d'autres termes, la distribution de Dirac est une mesure ponctuelle centrée en zéro avec une amplitude d'1 unité. De plus, la distribution de Dirac est concentrée en un seul point, c'est-à-dire que δ(x) = 0 pour tout x ≠ 0. Cela signifie que cette distribution n'a pas d'étendue spatiale et représente donc une impulsion instantanée. Une autre propriété importante de la distribution de Dirac est sa transformation par translation. En effet, si on décale la distribution de Dirac de a unités vers la droite, la nouvelle distribution obtenue est δ(x-a). Cette propriété est très utile pour modéliser des chocs ou des impulsions localisées dans le temps. La distribution de Dirac est également utilisée pour définir des distributions dérivées généralisées. Par exemple, la dérivée première de la distribution de Dirac est définie comme suit : ∫ f(x) δ'(x) dx = - f'(0), où f'(x) est la dérivée première de la fonction test f(x). Cette formule indique que lorsque la fonction test est multipliée par la dérivée première de la distribution de Dirac et intégrée, le résultat est égal à la négation de la dérivée première de la fonction test en zéro. De plus, on peut généraliser la notion de dérivée d'ordre n de la distribution de Dirac. Par exemple, la dérivée seconde de la distribution de Dirac est définie par la formule suivante : ∫ f(x) δ''(x) dx = f''(0), où f''(x) est la dérivée seconde de la fonction test f(x). En conclusion, la distribution de Dirac est une notion mathématique très utile pour modéliser des impulsions, des chocs ou des atomes en physique et en mathématiques. Elle présente des propriétés intéressantes telles que sa concentration en un seul point, sa transformation par translation et sa relation avec les dérivées généralisées. La distribution de Dirac permet de représenter des phénomènes ponctuels et instantanés, ce qui en fait un outil essentiel pour étudier et résoudre de nombreux problèmes physiques et mathématiques.