Dérivée du logarithme au carré

La dérivée du logarithme au carré est un concept mathématique important dans le domaine du calcul différentiel. Pour comprendre cette notion, il est essentiel de maîtriser les propriétés du logarithme et de la dérivation. Dans cet article, nous expliquerons en détail comment calculer la dérivée du logarithme au carré. Tout d'abord, rappelons brièvement ce qu'est le logarithme. Le logarithme est une fonction mathématique qui permet d'évaluer l'exposant auquel il faut élever une base donnée pour obtenir un certain nombre. En d'autres termes, si nous avons une équation du type a^x = b, le logarithme nous permet de trouver x. Maintenant, passons à la dérivée du logarithme au carré. Pour simplifier les calculs, nous allons utiliser la notation en base naturelle, c'est-à-dire le logarithme népérien noté ln. Ainsi, si nous avons une fonction f(x) = ln(x^2), nous voulons calculer f'(x). Pour dériver cette fonction, nous commençons par appliquer la règle de dérivation des fonctions composées, aussi connue sous le nom de règle de la chaîne. Selon cette règle, si f(g(x)) est une fonction composée de deux fonctions f(x) et g(x), alors la dérivée de f(g(x)) est donnée par la dérivée de f par rapport à g multipliée par la dérivée de g par rapport à x. Dans notre cas, f(x) = ln(x^2) est une fonction composée où f(x) est la fonction ln et g(x) est la fonction x^2. Ainsi, la dérivée de f(x) par rapport à g est 1/g et la dérivée de g(x) par rapport à x est 2x. Appliquons maintenant la règle de la chaîne. Nous multiplions la dérivée de f(x) par rapport à g, 1/g, par la dérivée de g(x) par rapport à x, 2x. Cela nous donne la dérivée de f(x) = ln(x^2) par rapport à x, notée f'(x), comme suit : f'(x) = (1/g) * (2x) = 2x / (x^2) = 2/x Ainsi, la dérivée de la fonction f(x) = ln(x^2) est égale à 2/x. Pour mieux comprendre cette dérivée, considérons un exemple. Supposons que nous ayons la fonction g(x) = ln(x^2) et que nous voulions calculer la pente de la tangente à cette fonction au point x = 3. Pour cela, nous utilisons la dérivée f'(x) = 2/x que nous avons précédemment calculée. En substituant x par 3, nous obtenons la pente de la tangente : f'(3) = 2/3 Ainsi, la pente de la tangente à la fonction g(x) = ln(x^2) au point x = 3 est égale à 2/3. En conclusion, la dérivée du logarithme au carré est donnée par la formule f'(x) = 2/x. Cette dérivée est utile dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences, notamment lors du calcul des pentes des tangentes à des fonctions logarithmiques au carré. Il est important de comprendre les propriétés du logarithme et les règles de dérivation pour pouvoir appliquer correctement cette dérivée.