La détermination des bornes supérieure et inférieure d'une suite est un concept important en mathématiques, en particulier dans l'étude des suites convergentes et divergentes. Dans cet article, nous examinerons ce que sont les bornes supérieure et inférieure d'une suite et comment les calculer.

Qu'est-ce que la borne supérieure d'une suite?

La borne supérieure d'une suite est le plus petit nombre réel qui est supérieur ou égal à tous les termes de la suite. Autrement dit, si nous avons une suite (a₁, a₂, a₃, ...), la borne supérieure est un nombre réel M tel que M ≥ aᵢ pour tout i.

Comment calculer la borne supérieure d'une suite?

Pour calculer la borne supérieure d'une suite, nous devons examiner la progression des termes de la suite et trouver le plus grand nombre qui est supérieur ou égal à tous les termes. Voici une méthode simple pour calculer la borne supérieure : Trouvez les termes les plus grands dans la suite. Notez que la suite peut avoir des termes infinis, il est donc important de tous les prendre en compte.

Comparez les termes trouvés et déterminez celui qui est le plus grand.

Ce nombre est la borne supérieure de la suite.

Prenons un exemple pour illustrer ce concept. Considérons la suite (1, 2, 3, 4, ...). Dans ce cas, nous voyons que chaque terme de la suite augmente de 1. Par conséquent, il n'y a pas de nombre réel M tel que M > 4, car le terme suivant sera toujours plus grand. Ainsi, la borne supérieure de cette suite est 4.

Qu'est-ce que la borne inférieure d'une suite?

La borne inférieure d'une suite est le plus grand nombre réel qui est inférieur ou égal à tous les termes de la suite. En d'autres termes, si nous avons une suite (a₁, a₂, a₃, ...), la borne inférieure est un nombre réel m tel que m ≤ aᵢ pour tout i.

Comment calculer la borne inférieure d'une suite?

Calculer la borne inférieure d'une suite suit une méthode similaire à celle utilisée pour calculer la borne supérieure. Voici les étapes pour calculer la borne inférieure :

Trouvez les termes les plus petits dans la suite.

Comparez les termes trouvés et déterminez celui qui est le plus petit.

Ce nombre est la borne inférieure de la suite.

Reprenons l'exemple précédent de la suite (1, 2, 3, 4, ...). Dans ce cas, nous voyons que chaque terme de la suite augmente de 1. Par conséquent, il n'y a pas de nombre réel m tel que m < 1, car le terme précédent sera toujours plus petit. Ainsi, la borne inférieure de cette suite est 1. Pour conclure, la détermination des bornes supérieure et inférieure d'une suite est un concept fondamental en mathématiques. Ces bornes nous aident à comprendre le comportement global d'une suite et à déterminer si elle converge ou diverge. Calculer les bornes supérieure et inférieure implique de trouver le plus grand nombre réel qui est supérieur à tous les termes de la suite (borne supérieure) et le plus petit nombre réel qui est inférieur à tous les termes de la suite (borne inférieure). En utilisant des méthodes simples, nous pouvons déterminer rapidement ces bornes et approfondir notre compréhension des suites.
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