Comment calculer le sinus et le cosinus sans l'aide d'une calculatrice

Le calcul du sinus et du cosinus est essentiel en mathématiques, en physique et dans de nombreux autres domaines. Bien que les calculatrices soient maintenant largement disponibles et qu'elles fournissent des résultats rapides et précis, il est néanmoins utile de comprendre comment calculer le sinus et le cosinus sans l'aide d'une calculatrice. Avant de plonger dans les calculs, il est important de comprendre les bases de ces fonctions. Le sinus (sin) et le cosinus (cos) sont deux fonctions trigonométriques principales qui sont définies en relation avec le cercle trigonométrique. Le cercle trigonométrique est un cercle unité de rayon 1 centré à l'origine d'un repère cartésien. Le point P(x, y) sur le cercle est obtenu en prenant l'angle θ entre l'axe des x positifs et la ligne reliant le point P à l'origine. La relation fondamentale dans le cercle trigonométrique est celle du théorème de Pythagore : x^2 + y^2 = 1. Cela signifie que cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1. En utilisant cette relation, nous pouvons calculer le cosinus et le sinus à partir de trois méthodes différentes : les formules algébriques, les tables trigonométriques et les séries de Taylor. La première méthode consiste à utiliser les formules algébriques pour le cosinus et le sinus. Par exemple, la formule la plus couramment utilisée pour le sinus est la formule du binôme de Newton : sin(θ) = θ - (θ^3)/3! + (θ^5)/5! - (θ^7)/7! + ..., où ! représente la factorielle de n. Cette série continue peut être utilisée pour obtenir une approximation du sinus en utilisant un certain nombre de termes. De même, la formule la plus couramment utilisée pour le cosinus est la suivante : cos(θ) = 1 - (θ^2)/2! + (θ^4)/4! - (θ^6)/6! + ... . Encore une fois, cela est basé sur une série continue qui fournit une approximation du cosinus. La deuxième méthode consiste à utiliser des tables trigonométriques. Les tables trigonométriques sont des outils mathématiques qui répertorient les valeurs de sinus et de cosinus pour différents angles pré-définis. En utilisant ces tables, nous pouvons facilement trouver les valeurs de sinus et de cosinus pour un angle donné. Cependant, ces tables ne sont pas aussi précises que les calculatrices modernes, surtout pour les angles intermédiaires. La troisième méthode consiste à utiliser les séries de Taylor pour calculer le sinus et le cosinus. Les séries de Taylor sont des approximations polynomiales d'une fonction donnée autour d'un point donné. En utilisant les séries de Taylor pour le sinus et le cosinus, nous pouvons obtenir des approximations plus précises pour ces fonctions. Ces approximations deviennent encore plus précises à mesure que le nombre de termes dans la série de Taylor augmente. En conclusion, il est possible de calculer le sinus et le cosinus sans l'aide d'une calculatrice en utilisant des formules algébriques, des tables trigonométriques ou des séries de Taylor. Bien que les calculatrices permettent des calculs rapides et précis, il est utile de comprendre les méthodes de calcul manuel pour le sinus et le cosinus. Cela permet de renforcer sa compréhension des concepts mathématiques et de mieux apprécier les fonctions trigonométriques.