Comment calculer la valeur exacte d'une fonction trigonométrique

Les fonctions trigonométriques jouent un rôle crucial en mathématiques et dans de nombreux domaines scientifiques. Elles sont utilisées pour étudier et modéliser des phénomènes périodiques tels que les oscillations et les ondes. Pour obtenir une compréhension approfondie de ces fonctions, il est essentiel de savoir comment calculer leur valeur exacte.

Qu'est-ce qu'une fonction trigonométrique ?

Une fonction trigonométrique est une fonction qui associe un angle à un nombre réel. Les fonctions trigonométriques de base sont le sinus, le cosinus et la tangente. Ces fonctions sont étroitement liées aux ratios entre les côtés d'un triangle rectangle et sont définies pour tous les angles réels.

Comment calculer la valeur exacte d'une fonction trigonométrique ?

Pour calculer la valeur exacte d'une fonction trigonométrique, vous devez connaître les valeurs des fonctions trigonométriques de base pour les angles particuliers : 0 degré, 30 degrés, 45 degrés, 60 degrés et 90 degrés.

Pour le sinus et le cosinus, les valeurs exactes pour ces angles particuliers sont :

- Sin(0°) = 0 - Sin(30°) = 1/2 - Sin(45°) = √2/2 - Sin(60°) = √3/2 - Sin(90°) = 1 - Cos(0°) = 1 - Cos(30°) = √3/2 - Cos(45°) = √2/2 - Cos(60°) = 1/2 - Cos(90°) = 0 Ces valeurs peuvent être mémorisées ou trouvées dans des tables trigonométriques. Pour la tangente, vous pouvez utiliser la définition de cette fonction trigonométrique : Tan(x) = Sin(x)/Cos(x). Par conséquent, pour calculer la valeur exacte de la tangente d'un angle, vous devez diviser la valeur exacte du sinus par la valeur exacte du cosinus correspondant à cet angle. Exemple de calcul de la valeur exacte d'une fonction trigonométrique : Supposons que nous souhaitons calculer la valeur exacte de Sin(75°). Nous pouvons utiliser l'identité trigonométrique Sin(a+b) = Sin(a)Cos(b) + Cos(a)Sin(b) pour réécrire Sin(75°) comme Sin(45°+30°). En utilisant les valeurs exactes de Sin(45°) et Sin(30°) mentionnées précédemment, nous pouvons substituer ces valeurs dans l'identité pour obtenir : Sin(75°) = Sin(45°+30°) = Sin(45°)Cos(30°) + Cos(45°)Sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4 Ainsi, la valeur exacte de Sin(75°) est (√6 + √2)/4. Il convient de noter que ces calculs sont plus précis que les approximations décimales obtenues à l'aide d'une calculatrice. Par conséquent, connaître les valeurs exactes des fonctions trigonométriques permet d'obtenir des résultats plus précis dans les calculs mathématiques. En conclusion, calculer la valeur exacte d'une fonction trigonométrique nécessite la connaissance des valeurs de base des fonctions trigonométriques pour les angles particuliers tels que 0 degré, 30 degrés, 45 degrés, 60 degrés et 90 degrés. En utilisant des identités trigonométriques et ces valeurs de base, il est possible de calculer avec précision les valeurs exactes des fonctions trigonométriques pour d'autres angles. Cela permet d'obtenir des résultats plus précis dans les calculs mathématiques et est essentiel pour comprendre et modéliser les phénomènes périodiques.