Le théorème du parallélogramme est l’un des théorèmes fondamentaux de la géométrie plane, qui établit un lien entre les côtés et les diagonales d’un parallélogramme. Selon ce théorème, la somme des carrés des quatre côtés d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses diagonales.

Pour comprendre comment prouver ce théorème, revenons d’abord à la définition d’un parallélogramme. Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Il possède également deux paires de côtés parallèles et égaux entre eux.

Pour démontrer ce théorème, nous allons utiliser les propriétés des quadrilatères parallélogrammes. Soit ABCD un parallélogramme, avec AB égal à CD et AD égal à BC. Nous allons désigner les longueurs des côtés du parallélogramme par a, b, c et d, respectivement.

Pour commencer, traçons les deux diagonales AC et BD du parallélogramme. Nous savons que AC et BD se coupent en leur point milieu, noté E.

Maintenant, concentrons-nous sur les côtés du parallélogramme. Nous avons donc les côtés AB, BC, CD et AD.

En utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons calculer les carrés de ces côtés. Le théorème de Pythagore nous dit que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Appliquons cela aux triangles ABE et BCE.

Dans le triangle ABE, AB est l’hypoténuse et AE et BE sont les autres côtés. En utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons écrire l’équation suivante :

AB^2 = AE^2 + BE^2

De la même manière, dans le triangle BCE, BC est l’hypoténuse et CE et BE sont les autres côtés. Nous pouvons écrire l’équation suivante :

BC^2 = CE^2 + BE^2

Maintenant, additionnons les deux équations précédentes :

AB^2 + BC^2 = AE^2 + BE^2 + CE^2 + BE^2

Simplifions cette équation en utilisant les propriétés des parallélogrammes. Comme AB est égal à CD et AD est égal à BC, nous pouvons remplacer AB par CD et BC par AD :

CD^2 + AD^2 = AE^2 + BE^2 + CE^2 + BE^2

Sachant que CE est égal à AE (par symétrie des diagonales d’un parallélogramme), nous pouvons écrire :

CD^2 + AD^2 = 2(AE^2 + BE^2)

Maintenant, concentrons-nous sur les diagonales du parallélogramme. Nous avons les diagonales AC et BD.

Utilisons une fois de plus le théorème de Pythagore dans les triangles ADE et CBE.

Dans le triangle ADE, l’hypoténuse est AD et les autres côtés sont AE et DE. Nous pouvons alors écrire :

AD^2 = AE^2 + DE^2

De même, dans le triangle CBE, l’hypoténuse est CE (qui est égal à AE dans un parallélogramme) et les autres côtés sont BE et DE. Nous pouvons écrire :

CE^2 = BE^2 + DE^2

Additionnons ces deux équations :

AD^2 + CE^2 = AE^2 + DE^2 + BE^2 + DE^2

Simplifions à nouveau en utilisant les propriétés des parallélogrammes :

AD^2 + CE^2 = 2(AE^2 + BE^2)

Maintenant, nous remarquons que cette équation est identique à l’équation précédente, que nous avons obtenue en étudiant les côtés du parallélogramme. Cela signifie que les deux côtés du parallélogramme et les deux diagonales du parallélogramme ont la même somme des carrés.

Ainsi, en utilisant cette preuve, nous avons démontré le théorème du parallélogramme. La somme des carrés des quatre côtés d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses diagonales. Ce théorème est fondamental en géométrie plane et a de nombreuses applications dans divers domaines.

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