Le théorème sur la moyenne arithmétique intégrale est un résultat mathématique fondamental qui établit une relation entre les intégrales de fonctions continues et les moyennes arithmétiques de ces fonctions sur un intervalle donné.

Soit f une fonction continue définie sur un intervalle [a, b]. Le théorème sur la moyenne arithmétique intégrale affirme qu’il existe au moins un point c dans cet intervalle tel que l’intégrale de f sur [a, b] soit égale à f(c) multiplié par la longueur de l’intervalle [a, b]. Autrement dit, l’intégrale de f sur [a, b] est égale à la moyenne de f sur cet intervalle multipliée par sa longueur.

Mathématiquement, cela peut être exprimé comme suit :
∫[a, b] f(x) dx = f(c) * (b – a)

La démonstration de ce théorème est basée sur l’utilisation du théorème fondamental du calcul intégral, qui établit une relation entre l’intégrale d’une fonction et sa fonction primitive. En appliquant ce théorème à la fonction F(x) = ∫[a, x] f(t) dt, on obtient que la dérivée de F est égale à f(x).

En utilisant cette relation entre la fonction f et sa fonction primitive F, on peut démontrer que l’intégrale de f sur [a, b] est égale à la différence entre les valeurs de F en b et en a, c’est-à-dire :
∫[a, b] f(x) dx = F(b) – F(a)

Ensuite, selon le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions continues, on sait que la fonction F, étant la primitive de f, est continue sur [a, b]. Par conséquent, F(b) et F(a) prennent toutes les valeurs intermédiaires entre F(a) et F(b). Cela signifie qu’il existe au moins un point c dans l’intervalle [a, b] tel que F(c) soit égal à la moyenne arithmétique de F(a) et F(b).

Ainsi, en remplaçant F(b) et F(a) par leurs expressions dans l’intégrale de f, on obtient :
∫[a, b] f(x) dx = f(c) * (b – a)

Ce théorème a de nombreuses applications en mathématiques et en physique. Par exemple, il est souvent utilisé pour prouver d’autres résultats mathématiques, tels que le théorème fondamental de l’analyse et le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales.

En conclusion, le théorème sur la moyenne arithmétique intégrale est un résultat clé en calcul intégral. Il établit une relation entre les intégrales de fonctions continues et les moyennes arithmétiques de ces fonctions sur un intervalle donné. Ce théorème est très utile pour prouver d’autres résultats mathématiques et a de nombreuses applications en mathématiques et en physique.

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