Les systèmes linéaires sont des outils mathématiques largement utilisés pour résoudre des problèmes dans de nombreux domaines tels que les sciences physiques, l’économie, l’ingénierie et bien d’autres encore. Ils consistent en un ensemble d’équations linéaires qui doivent être résolues simultanément pour trouver les valeurs des variables inconnues. Dans cet article, nous présenterons quelques exercices courants sur les systèmes linéaires ainsi que leurs solutions.

Exercice 1 :
Résolvez le système linéaire suivant :
2x + 3y = 8
4x – 2y = 2

Solution :
Pour résoudre ce système linéaire, nous pouvons utiliser la méthode de substitution ou la méthode d’élimination. Commençons par utiliser la méthode de substitution. À partir de la première équation, nous pouvons isoler x en soustrayant 3y des deux côtés :
2x = 8 – 3y
En divisant ensuite par 2, nous obtenons :
x = 4 – (3/2)y
Maintenant, substituons cette expression de x dans la deuxième équation :
4(4 – (3/2)y) – 2y = 2
Simplifions l’équation :
16 – 6y -2y = 2
16 – 8y = 2
En soustrayant 16 des deux côtés, nous obtenons :
-8y = -14
En divisant par -8, nous trouvons :
y = 7/4
Maintenant, substituons cette valeur de y dans l’expression de x :
x = 4 – (3/2)(7/4)
x = 4 – 21/8
Simplifions :
x = 23/8

La solution du système linéaire est x = 23/8 et y = 7/4.

Exercice 2 :
Résolvez le système linéaire suivant :
3x + 2y = 10
6x + 4y = 20

Solution :
Dans ce cas, les deux équations sont proportionnelles, ce qui signifie qu’une équation est un multiple de l’autre. Par conséquent, ces deux équations représentent essentiellement la même ligne. Ainsi, le système a une infinité de solutions, ce qui signifie que les valeurs de x et y peuvent être n’importe quelles valeurs réelles.

Exercice 3 :
Résolvez le système linéaire suivant :
x + y = 5
2x + 3y = 12

Solution :
Dans ce cas, nous utiliserons la méthode d’élimination. Multiplions la première équation par 2 pour simplifier le système.
2x + 2y = 10
2x + 3y = 12
Maintenant, soustrayons les deux équations pour éliminer x :
(2x + 3y) – (2x + 2y) = 12 – 10
y = 2
Maintenant, substituons cette valeur de y dans la première équation :
x + 2 = 5
x = 3

La solution du système linéaire est x = 3 et y = 2.

En conclusion, les systèmes linéaires sont de puissants outils mathématiques pour résoudre des problèmes impliquant des équations linéaires. Que ce soit par substitution, élimination ou toute autre méthode, la résolution des systèmes linéaires nécessite une compréhension approfondie des concepts mathématiques. Les exercices présentés dans cet article sont des exemples courants de tels systèmes et vous aideront à pratiquer vos compétences en résolution de problèmes linéaires.

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