Les systèmes d’inégalités sont un concept important en mathématiques qui permet d’étudier les relations entre différentes équations et inégalités. Ces systèmes sont souvent utilisés pour résoudre des problèmes concrets et peuvent être résolus à l’aide de différentes méthodes.

Dans cet article, nous aborderons quelques exercices sur les systèmes d’inégalités afin de mieux comprendre leur utilisation et leur résolution. Ces exercices couvrent différents aspects des systèmes d’inégalités, tels que la représentation graphique, les méthodes de substitution et d’élimination, et la vérification des solutions.

Le premier exercice consiste à résoudre le système d’inégalités suivant :
« `
2x + 3y ≤ 12
x + y ≥ 4
« `
Pour résoudre ce système, nous pouvons commencer par représenter graphiquement les deux inégalités. La première inégalité `2x + 3y ≤ 12` représente une demi-plaine située en-dessous de la droite `2x + 3y = 12`. La deuxième inégalité `x + y ≥ 4` représente une demi-plaine située au-dessus de la droite `x + y = 4`.

En superposant les deux demi-plaines, nous pouvons trouver la région où les deux inégalités sont satisfaites. Dans ce cas, la région commune aux deux demi-plaines est un rectangle dont les coins sont `(2, 2)`, `(4, 4)`, `(4, 3)`, et `(2, 3)`.

En utilisant la méthode de substitution, nous pouvons également trouver les valeurs de x et y qui satisfont les deux inégalités. En résolvant la deuxième inégalité pour y, nous obtenons `y ≥ 4 – x`. En remplaçant cette expression dans la première inégalité, nous avons `2x + 3(4 – x) ≤ 12`, ce qui simplifie à `2x + 12 – 3x ≤ 12` et à `-x ≤ 0`. En multipliant par -1, nous obtenons `x ≥ 0`.

En substituant ensuite cette valeur de x dans la deuxième inégalité, nous avons `0 + y ≥ 4`, ce qui se simplifie à `y ≥ 4`. Ainsi, les valeurs de x et y qui satisfont les deux inégalités sont `x ≥ 0` et `y ≥ 4`.

Le deuxième exercice consiste à résoudre le système d’inégalités suivant en utilisant la méthode d’élimination :
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2x – 3y ≥ 6
3x + 2y ≤ 12
« `
Pour résoudre ce système, nous pouvons multiplier la première inégalité par 2 et la deuxième inégalité par 3 pour éliminer les coefficients de x. En faisant cela, nous obtenons `4x – 6y ≥ 12` pour la première inégalité et `9x + 6y ≤ 36` pour la deuxième inégalité.

En additionnant les deux inégalités, nous avons `13x ≥ 48`, ce qui se simplifie à `x ≥ 48/13`. En substituant cette valeur de x dans la première inégalité, nous obtenons `2(48/13) – 3y ≥ 6`, ce qui simplifie à `96/13 – 3y ≥ 6`. En résolvant cette inégalité pour y, nous avons `y ≤ (96/13 – 6)/-3`, ce qui se simplifie à `y ≤ 26/13`.

Ainsi, les valeurs de x et y qui satisfont les deux inégalités sont `x ≥ 48/13` et `y ≤ 26/13`.

Enfin, pour vérifier les solutions obtenues, nous pouvons substituer les valeurs de x et y dans les inégalités initiales et vérifier si les inégalités sont satisfaites. Si les inégalités sont satisfaites, les valeurs de x et y sont solutions du système d’inégalités.

En conclusion, les systèmes d’inégalités sont un outil essentiel en mathématiques pour étudier les relations entre différentes équations et inégalités. La résolution graphique, la méthode d’élimination et la méthode de substitution sont quelques-unes des méthodes utilisées pour résoudre ces systèmes. Les exercices présentés dans cet article nous ont permis d’explorer différentes méthodes de résolution et de comprendre comment vérifier les solutions obtenues.

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