Les équations homogènes sont des équations différentielles qui peuvent être résolues en utilisant des techniques spécifiques. Elles sont caractérisées par la propriété que si f(t,y) est une solution, alors kf(t,k^ny) est également une solution, où k est une constante réelle.

Lorsque nous rencontrons une équation homogène, il est possible de la résoudre en utilisant une substitution appropriée. Cette substitution est généralement de la forme y = vx, où v est une fonction à déterminer.

Prenons par exemple l’équation différentielle homogène suivante :

dy/dx = (2xy – y)/x

Pour résoudre cette équation, nous allons supposer que y = vx. En substituant cette expression dans l’équation, nous obtenons :

v + xdv/dx = (2x(vx) – vx)/x

Simplifiant cette équation, nous avons :

v + xdv/dx = (2v – 1)v

Maintenant, nous pouvons séparer les variables et intégrer des deux côtés de l’égalité. Une fois intégré, nous obtenons :

∫(1/v)*(v – 1)/((2v – 1)) dv = ∫1/x dx

En résolvant ces intégrales, nous trouvons :

ln|v – 1| – ln|2v – 1| = ln|x| + C

En utilisant les propriétés des logarithmes, nous pouvons simplifier cette équation en :

ln|(v – 1)/(2v – 1)| = ln|x| + C

En supposant que C est une constante réelle, nous pouvons exponentier des deux côtés de l’égalité :

|(v – 1)/(2v – 1)| = e^(ln|x| + C)

Cette équation peut être simplifiée davantage. En utilisant les propriétés de l’exponentielle, nous avons :

|(v – 1)/(2v – 1)| = e^C * |x|

Maintenant, pour résoudre cette équation, nous devons prendre en compte deux cas possibles : lorsque 2v – 1 est égal à zéro et lorsque ce n’est pas le cas.

Si 2v – 1 = 0, alors v = 1/2 et la solution générale est donnée par y = (1/2)x.

Si 2v – 1 n’est pas égal à zéro, alors nous pouvons simplifier l’expression en :

(v – 1)/(2v – 1) = ±e^C * x

En multipliant des deux côtés de l’égalité par 2v – 1, nous obtenons :

v – 1 = ±(e^C * x)(2v – 1)

En développant cette équation, nous trouvons :

v – 1 = ±(e^C * x)(2v – 1)

v – 1 = ±2e^C * vx – e^C * x

En regroupant les termes contenant v et ceux ne contenant pas v, nous obtenons :

v(1 – ±2e^C * x) = e^C * x + 1

En divisant des deux côtés de l’équation par 1 – ±2e^C * x, nous trouvons :

v = (e^C * x + 1)/(1 – ±2e^C * x)

Maintenant, nous pouvons substituer l’expression de v dans le y = vx initial pour obtenir la solution générale de l’équation homogène.

En prenant en compte les deux cas possibles pour 2v – 1, nous avons :

y = (e^C * x + 1)/(1 – 2e^C * x)

ou

y = (e^C * x + 1)/(1 + 2e^C * x)

Ces deux équations sont les solutions générales de l’équation homogène donnée initialement.

En conclusion, les équations homogènes peuvent être résolues en utilisant des techniques spécifiques, telles que la substitution de y = vx. En utilisant cette méthode, nous pouvons séparer les variables, intégrer et trouver la solution générale de l’équation. Il est important de prendre en compte tous les cas possibles et de vérifier les conditions nécessaires pour que les solutions soient valides.

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