Les inégalités sont une notion essentielle en mathématiques. Elles permettent de comparer des valeurs entre elles et de déterminer si une quantité est inférieure, supérieure ou égale à une autre. Parmi les différents types d’inégalités, les inégalités linéaires sont les plus couramment utilisées. Dans cet article, nous allons aborder les techniques pour résoudre les inégalités linéaires, ainsi que quelques exercices pour pratiquer.

Une inégalité linéaire peut être représentée sous la forme a.x + b > c, a.x + b < c, a.x + b ≥ c ou a.x + b ≤ c, où x est une variable, a, b et c sont des constantes réelles et a ≠ 0. Pour résoudre une inégalité linéaire, nous devons trouver toutes les valeurs possibles de la variable x qui satisferont l'inégalité. Les étapes à suivre sont les suivantes : 1. Isoler la variable x d'un côté de l'inégalité. Supposons que nous ayons l'inégalité a.x + b > c. La première étape consiste à isoler la variable x en déplaçant les autres termes de l’autre côté de l’inégalité. Par exemple, si nous souhaitons isoler x, nous devons soustraire b des deux côtés de l’inégalité : a.x > c – b.

2. Diviser par le coefficient de x.

La deuxième étape consiste à diviser chaque terme de l’inégalité par le coefficient de x (a). Cela nous permet d’obtenir l’expression simplifiée de x avec un coefficient égal à 1 : x > (c – b)/a.

3. Déterminer l’orientation de l’inégalité.

En fonction du signe de a, l’orientation de l’inégalité peut changer. Si a est positif, l’inégalité reste la même. Si a est négatif, l’inégalité doit être inversée. Par exemple, si a > 0, l’inégalité devient x > (c – b)/a. Si a < 0, l'inégalité devient x < (c - b)/a. 4. Trouver l'intervalle de solution. En utilisant les résultats des étapes précédentes, nous pouvons déterminer l'intervalle de solution pour x. Si l'inégalité se termine par > ou ≥, cela signifie que x doit être supérieur ou égal à la valeur obtenue. Si l’inégalité se termine par < ou ≤, cela signifie que x doit être inférieur ou égal à la valeur obtenue. Par exemple, si nous avons x > (c – b)/a, cela signifie que x doit être supérieur à (c – b)/a.

Maintenant que nous avons expliqué les étapes pour résoudre les inégalités linéaires, nous allons passer à quelques exercices pour mettre en pratique ces connaissances.

Exercice 1 : Résoudre l’inégalité 2x + 5 > 9.

Étape 1 : Isoler la variable x.
2x > 9 – 5
2x > 4

Étape 2 : Diviser par le coefficient de x.
x > 4/2
x > 2

Étape 3 : Déterminer l’orientation de l’inégalité.
Comme le coefficient de x est positif (2 > 0), l’inégalité reste inchangée.

Étape 4 : Trouver l’intervalle de solution.
Comme l’inégalité se termine par >, l’intervalle de solution est x > 2.

Exercice 2 : Résoudre l’inégalité -3x – 2 < 8. Étape 1 : Isoler la variable x. -3x < 8 + 2 -3x < 10 Étape 2 : Diviser par le coefficient de x. x > 10/(-3)
x > -10/3

Étape 3 : Déterminer l’orientation de l’inégalité.
Comme le coefficient de x est négatif (-3 < 0), l'inégalité doit être inversée. Étape 4 : Trouver l'intervalle de solution. Comme l'inégalité est inversée, l'intervalle de solution est x < -10/3. La résolution des inégalités linéaires nécessite une compréhension des différentes étapes pour isoler la variable x. Pratiquer avec des exercices vous permettra de vous familiariser avec ces étapes et de développer votre compréhension des inégalités linéaires.

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