Résoudre les inégalités irrationnelles : exercices et exemples de solutions

Les inégalités irrationnelles sont des énoncés mathématiques qui comportent des racines carrées, des racines cubiques ou d’autres types de racines. Résoudre ces inégalités peut sembler complexe au premier abord, mais avec la pratique et une bonne compréhension des concepts sous-jacents, il est possible de trouver des solutions satisfaisantes. Dans cet article, nous présenterons quelques exercices et exemples de solutions pour vous aider à maîtriser la résolution des inégalités irrationnelles.

Commençons par un exemple simple pour comprendre le processus de résolution. Considérons l’inégalité suivante : √(2x-1) > 3. Pour résoudre cette équation, nous devons d’abord isoler la racine carrée. Nous élevons les deux côtés de l’inégalité au carré, ce qui nous donne 2x-1 > 9. En ajoutant 1 des deux côtés, nous obtenons 2x > 10. En divisant ensuite par 2, nous trouvons x > 5. Ainsi, la solution de l’inégalité est x > 5.

Passons maintenant à un exercice légèrement plus complexe : résoudre l’inégalité √(4x+3) + √(2-x) ≤ 5. Pour résoudre cette équation, nous devons faire attention aux différentes racines carrées présentes. Pour simplifier le calcul, nous choisissons de définir une substitution : a = √(4x+3) et b = √(2-x). Nous obtenons alors l’inégalité a + b ≤ 5.

Nous elevons ensuite les deux côtés de l’inégalité au carré : (a + b)² ≤ 25. En développant cette expression, nous avons a² + 2ab + b² ≤ 25. Puisque a = √(4x+3) et b = √(2-x), nous pouvons les remplacer dans l’expression : (4x+3) + 2√((4x+3)(2-x)) + (2-x) ≤ 25. Après avoir effectué quelques calculs supplémentaires, nous obtenons 8x + 2√(-x³ + 10x² – 11x + 6) ≤ 16.

Maintenant, nous devons isoler la racine carrée pour poursuivre la résolution. En soustrayant 8x des deux côtés, nous obtenons 2√(-x³ + 10x² – 11x + 6) ≤ -8x + 16. En divisant ensuite par 2, nous avons √(-x³ + 10x² – 11x + 6) ≤ -4x + 8.

À ce stade, nous avons deux choix possibles : soit nous pouvons élever les deux côtés au carré à nouveau, soit nous pouvons isoler la racine carrée à l’aide d’autres techniques algébriques. Dans cet exemple, nous choisirons de résoudre cette inégalité en isolant la racine carrée. En élevant les deux côtés au carré, nous risquons de perdre certaines solutions.

Pour continuer, nous devons carré des deux côtés de l’inégalité, en gardant à l’esprit que les carrés des deux côtés peuvent être positifs ou nuls. Après quelques calculs supplémentaires et simplifications, nous obtenons finalement x² – 6x ≤ 0.

Nous pouvons résoudre cette inégalité en factorisant l’expression : x(x-6) ≤ 0. En utilisant un tableau de signes, nous pouvons déterminer les intervalles où cette inégalité est vérifiée. Nous constatons que la solution est comprise dans l’intervalle [0, 6].

Cet exemple démontre le processus de résolution des inégalités irrationnelles à travers des étapes bien définies. Bien que cela puisse sembler fastidieux au départ, la maîtrise de ces techniques permettra de résoudre différents types d’inégalités irrationnelles.

En conclusion, la résolution des inégalités irrationnelles nécessite une compréhension solide des concepts mathématiques sous-jacents et une pratique régulière. À travers des exemples et des exercices comme ceux présentés dans cet article, vous pourrez progresser dans votre apprentissage de la résolution des inégalités irrationnelles. N’hésitez pas à consulter des ressources supplémentaires et à demander de l’aide si nécessaire pour renforcer vos connaissances dans ce domaine passionnant des mathématiques.