Résoudre les équations d'un cercle

Les cercles sont des formes géométriques importantes et largement utilisées dans de nombreux domaines, tels que les mathématiques, la physique et l’ingénierie. Pour pouvoir travailler efficacement avec les cercles, il est essentiel de comprendre comment résoudre les équations qui les décrivent. Dans cet article, nous allons expliquer en détail comment résoudre les équations d’un cercle.

Une équation d’un cercle est généralement donnée sous la forme standard : (x – h)² + (y – k)² = r². Ici, (h, k) représente les coordonnées du centre du cercle, tandis que r représente le rayon du cercle. Pour résoudre cette équation, nous devons suivre plusieurs étapes.

Tout d’abord, nous pouvons commencer par isoler les termes carrés en déplaçant les autres termes de l’équation de l’autre côté. Par exemple, si nous avons une équation de la forme (x – 2)² + (y + 3)² = 9, nous pouvons déplacer le 9 de l’autre côté en le multipliant par -1 pour obtenir : (x – 2)² + (y + 3)² – 9 = 0.

Ensuite, nous pouvons développer les termes carrés pour obtenir une équation sans carrés. Dans notre exemple, cela donnerait : x² – 4x + 4 + y² + 6y + 9 – 9 = 0. En combinant les termes similaires, nous obtenons : x² + y² – 4x + 6y + 4 = 0.

Maintenant que nous avons une équation quadratique sans carrés, nous pouvons utiliser différentes méthodes pour la résoudre. Une méthode courante pour résoudre les équations quadratiques consiste à utiliser la factorisation. Cependant, dans le cas d’une équation de cercle, la factorisation n’est généralement pas possible, car les termes ne peuvent pas être factorisés en expressions simplifiées.

Une autre méthode couramment utilisée pour résoudre les équations quadratiques est la méthode du complémentaire carré parfait. Cette méthode consiste à ajouter ou soustraire une constante des deux côtés de l’équation pour transformer l’expression en un carré parfait. Par exemple, nous pouvons ajouter 4 au deux côtés de notre équation pour obtenir : x² + y² – 4x + 6y + 8 = 4.

Ensuite, nous pouvons réorganiser les termes et exprimer l’équation du cercle sous la forme d’un carré parfait. Dans notre exemple, cela donnerait : (x – 2)² + (y + 3)² = 4.

Maintenant que nous avons l’équation d’un cercle sous sa forme standard, nous pouvons facilement déterminer les informations importantes sur le cercle. Par exemple, nous pouvons voir que le centre du cercle est situé à (2, -3) et que le rayon du cercle est de 2.

En résumé, résoudre les équations d’un cercle implique d’isoler les termes carrés, de développer l’équation, de résoudre l’équation quadratique et de réorganiser les termes pour obtenir une équation sous forme de carré parfait. Une fois que nous avons l’équation sous sa forme standard, nous pouvons facilement identifier les caractéristiques du cercle, telles que son centre et son rayon. La résolution des équations de cercle est essentielle pour comprendre et travailler efficacement avec ces formes géométriques importantes.