La méthode de Ruffini, également connue sous le nom de règle de Ruffini, est une technique algébrique utilisée pour diviser un polynôme par un binôme(x – a). Cette méthode doit son nom à Paolo Ruffini, un mathématicien italien du XVIIIe siècle.

Pour comprendre la méthode de Ruffini, il est d’abord important de comprendre les notions de polynôme et de diviseur. Un polynôme est une expression algébrique qui est formée par l’addition ou la soustraction de termes, et chaque terme est composé de variables élevées à des puissances entières non négatives, multipliées par des coefficients. Par exemple, le polynôme p(x) = 4x^3 – 2x^2 + 7x – 3 est un polynôme de degré 3.

Le diviseur, dans le cas de la méthode de Ruffini, est un binôme de la forme (x – a), où a est une constante réelle ou complexe. Le but de la méthode est de diviser le polynôme donné par ce diviseur, afin d’obtenir un quotient et un reste.

Prenons un exemple concret pour illustrer la méthode de Ruffini. Supposons que nous devions diviser le polynôme p(x) = 2x^3 – 5x^2 + 3x + 7 par le binôme (x – 2). La première étape consiste à écrire les coefficients du polynôme de gauche dans une ligne. Dans notre exemple, ces coefficients sont 2, -5, 3 et 7.

Ensuite, nous devons diviser le premier coefficient par le coefficient du diviseur, c’est-à-dire 2 dans notre cas. Le résultat de cette division est notre premier terme du quotient. Dans notre exemple, 2 divisé par 2 donne 1. Nous écrivons donc 1 sur une nouvelle ligne.

Ensuite, nous multiplions ce terme du quotient par le diviseur. Dans notre exemple, 1 multiplié par (x – 2) donne (x – 2). Nous écrivons ensuite ce résultat sous le lignes originale de coefficients.

Nous devons maintenant soustraire cette expression du polynôme initial. Dans notre exemple, nous devons soustraire (x – 2) de p(x). Cela donne 2x^3 – 5x^2 + 3x + 7 – (x – 2).

Nous continuons ensuite le processus en répétant les étapes précédentes avec les nouveaux coefficients obtenus après la soustraction. Dans notre exemple, nous divisons -x par 2, ce qui donne -0,5. Nous multiplions ensuite -0,5 par (x – 2) pour obtenir -0,5x + 1. Nous soustrayons ensuite cette expression du polynôme.

Nous répétons ce processus jusqu’à ce que tous les termes du polynôme aient été divisés. Si nous arrêtons le processus lorsque tous les termes du polynôme ont été divisés, nous obtenons le quotient final. Dans notre exemple, le quotient final est 2x^2 + x – 3.

Il est important de noter que si le reste est différent de zéro, cela signifie que (x – a) n’est pas un facteur du polynôme initial.

La méthode de Ruffini est un outil puissant pour résoudre des problèmes d’algèbre, notamment lorsqu’il s’agit de factoriser un polynôme ou de trouver ses racines. En utilisant cette méthode, il est possible de simplifier de manière significative les calculs et de trouver des solutions plus rapidement.

En conclusion, la méthode de Ruffini est une technique utile pour diviser un polynôme par un binôme. En suivant les étapes décrites précédemment, il est possible de trouver le quotient et le reste rapidement et efficacement. C’est un outil précieux pour résoudre des exercices d’algèbre et pour faciliter la manipulation des polynômes.

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