Réduction des radicaux en fractions rationnelles

Les fractions rationnelles sont des expressions algébriques qui sont le quotient de deux polynômes. Elles apparaissent dans de nombreux domaines des mathématiques et peuvent être utilisées pour résoudre des équations, simplifier des expressions ou représenter des fonctions. Cependant, il arrive parfois que ces fractions contiennent des radicaux, ce qui rend leur résolution plus complexe. Dans cet article, nous allons nous intéresser à la réduction des radicaux en fractions rationnelles.

Pour commencer, il est important de rappeler quelques règles de base concernant la manipulation des radicaux. Si on a deux nombres réels positifs a et b, alors la racine carrée de leur produit est égale à la racine carrée de a multipliée par la racine carrée de b. De plus, la racine carrée d’un quotient de deux nombres réels positifs est égale à la racine carrée du numérateur divisée par la racine carrée du dénominateur.

En utilisant ces règles de base, nous pouvons réduire des radicaux en fractions rationnelles. Supposons que nous ayons une fraction rationnelle telle que (x + √5)/(x – √3). Nous pouvons réduire cette expression en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, c’est-à-dire (x + √3). En effectuant cette opération, nous obtenons la fraction rationnelle suivante : (x + √5)(x + √3)/((x – √3)(x + √3)).

Maintenant, nous pouvons simplifier cette expression. En développant le numérateur, nous obtenons x² + x√3 + x√5 + √15. Si nous réduisons cette expression, nous obtenons finalement : x² + x(√3 + √5) + √15/((x – √3)(x + √3)). En utilisant la règle selon laquelle la racine carrée de trois plus la racine carrée de cinq est égale à la racine carrée de quinze, nous pouvons simplifier davantage cette fraction rationnelle en éliminant les radicaux.

Dans d’autres cas, il se peut que les radicaux présents dans une fraction rationnelle soient plus complexes. Par exemple, supposons que nous ayons la fraction rationnelle suivante : (√2x + √3)/(√5x + √7). Pour simplifier cette expression, nous pouvons commencer par multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur (√5x – √7). En effectuant cette multiplication, nous obtenons : (√2x + √3)(√5x – √7)/((√5x + √7)(√5x – √7)).

Maintenant, nous pouvons simplifier davantage cette expression en développant le numérateur. Nous obtenons 2x√5x + √10x – √15x – 3√7. En regroupant les termes semblables, nous obtenons finalement : 2x√5x – √5x + √10x – 3√15x – 3√7/((√5x)² – (√7)²). En utilisant la règle selon laquelle la racine carrée de cinq multipliée par la racine carrée de x est égale à la racine carrée de cinq fois x, nous pouvons simplifier cette expression en éliminant les radicaux.

En conclusion, la réduction des radicaux en fractions rationnelles peut être une tâche complexe, mais en utilisant les règles de base de manipulation des radicaux, il est possible de simplifier ces expressions. En multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, en développant le numérateur et en simplifiant les termes semblables, on peut éliminer les radicaux et obtenir une forme simplifiée de la fraction rationnelle. La réduction des radicaux en fractions rationnelles est donc un outil indispensable dans le domaine des mathématiques et permet de résoudre de nombreux problèmes.