Lorsque l’on parle de fonctions mathématiques, il est courant de mentionner le terme « codomaine« . Mais qu’est-ce que cela signifie exactement ?

En mathématiques, une fonction est une relation entre deux ensembles, généralement notée f : A ⟶ B, où A est l’ensemble de départ, appelé « ensemble de départ » ou « ensemble source », et B est l’ensemble d’arrivée, souvent appelé « ensemble cible » ou « ensemble but ».

Le codomaine, quant à lui, est l’ensemble dans lequel se trouvent les images possibles des éléments de l’ensemble de départ. Cela signifie que chaque élément de l’ensemble de départ a une image dans le codomaine. Il est important de noter que le codomaine n’est pas nécessairement égal à l’ensemble d’arrivée, mais il contient toutes les images possibles.

Pour mieux comprendre ce concept, prenons un exemple concret. Supposons que nous ayons une fonction f : ℝ ⟶ ℝ, où ℝ représente l’ensemble des nombres réels. Dans ce cas, l’ensemble de départ et le codomaine sont tous les deux l’ensemble des nombres réels. Cela signifie que chaque nombre réel a une image dans l’ensemble des nombres réels.

Cependant, il est possible d’avoir des fonctions dont le codomaine diffère de l’ensemble d’arrivée. Reprenons l’exemple précédent et supposons maintenant que nous avons une fonction g : ℝ ⟶ ℕ, où ℕ représente l’ensemble des nombres naturels (0, 1, 2, 3, …). Même si le codomaine de g est l’ensemble des nombres naturels, nous pouvons toujours trouver des éléments de l’ensemble de départ (les nombres réels) qui n’ont pas d’image dans l’ensemble des nombres naturels.

En d’autres termes, le codomaine indique l’ensemble des valeurs qui peuvent être atteintes par une fonction, mais cela ne signifie pas nécessairement que toutes les valeurs de l’ensemble de départ seront effectivement utilisées. Certaines valeurs de l’ensemble de départ peuvent ne pas avoir d’image dans le codomaine.

Il est également important de mentionner qu’il est possible de restreindre le codomaine d’une fonction. Par exemple, si nous avons une fonction h : ℝ ⟶ ℕ, mais que nous souhaitons restreindre le codomaine aux nombres naturels pairs, cela signifie que seul un sous-ensemble des nombres naturels peut être atteint par la fonction h.

En résumé, le codomaine d’une fonction représente l’ensemble des valeurs possibles pour les images des éléments de l’ensemble de départ. Il peut être égal à l’ensemble d’arrivée, mais il peut aussi le restreindre ou être différent de celui-ci. Comprendre ce concept est essentiel pour étudier plus en profondeur les fonctions mathématiques et les relations entre différents ensembles.

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