Le théorème de Pythagore est l’un des concepts mathématiques les plus célèbres et les plus utilisés aujourd’hui. Il énonce que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ce théorème, souvent attribué à Pythagore, a une longue et fascinante histoire, et de nombreuses preuves ont été proposées pour le démontrer.

L’une des preuves les plus simples et les plus élégantes est la preuve géométrique, qui utilise le carré comme base de démonstration. Pour cela, nous dessinons un triangle rectangle avec les côtés a et b pour les côtés de l’angle droit, et c pour l’hypoténuse. Nous construisons ensuite des carrés sur chacun des côtés du triangle.

Le premier carré est construit sur le côté a, et a pour aire a². Le deuxième carré est construit sur le côté b, avec une aire de b². Nous lions les coins opposés du premier carré avec un segment de longueur c, qui correspond à l’hypoténuse. Nous lions également les coins opposés du deuxième carré avec des segments de longueurs a et b respectivement.

Nous pouvons maintenant observer que le grand carré formé par les côtés a, b et c a une aire totale de (a + b)². Il est intéressant de noter que cet aire est également composée de l’aire du premier carré (a²), de l’aire du deuxième carré (b²) et de l’aire de quatre triangles rectangles.

Nous examinons ensuite les aires des triangles rectangles, que nous notons T1, T2, T3 et T4. Le premier triangle, T1, a une demi-base a et une hauteur b, ce qui donne une aire de (1/2)ab. Le deuxième triangle, T2, a une demi-base b et une hauteur a, donnant une aire identique à (1/2)ab. Les troisième et quatrième triangles, T3 et T4, ont chacun une demi-base a et une hauteur c-b, ce qui donne une aire de (1/2)a(c-b) pour chacun.

En ajoutant toutes ces aires, nous obtenons (1/2)ab + (1/2)ab + (1/2)a(c-b) + (1/2)a(c-b), soit une somme de ab + ab + ac – ab + ac – ab, qui se réduit finalement à 2ab + 2ac – 2ab. Nous pouvons simplifier cette expression en 2ac, ce qui donne l’aire totale des triangles rectangles.

Maintenant, nous pouvons établir l’égalité entre l’aire totale du grand carré ((a + b)²) et la somme des aires des carrés individuels (a² + b² + 2ab + 2ac). En égalisant ces deux expressions, nous obtenons l’équation (a + b)² = a² + b² + 2ab + 2ac.

En simplifiant cette équation, nous trouvons a² + 2ab + b² = a² + b² + 2ab + 2ac. Par élimination des termes identiques, nous obtenons 2ab = 2ac. En divisant toute l’équation par 2, il reste simplement ab = ac.

En divisant toute l’équation par a, nous obtenons b = c. Cette condition est clairement vérifiée par notre triangle rectangle initial, prouvant ainsi que le théorème de Pythagore est vérifié.

Cette preuve géométrique du théorème de Pythagore illustre parfaitement la beauté des mathématiques et la puissance des démonstrations géométriques. Grâce à une simple construction sur un triangle rectangle, nous avons pu montrer que les aires des carrés associés à chaque côté du triangle sont équivalentes à l’aire d’un grand carré construit sur l’hypoténuse. Cette preuve est non seulement élégante, mais elle offre également une compréhension plus profonde et intuitive du théorème de Pythagore.

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