Preuve de l'unicité de la limite de Cauchy

Pour commencer, rappelons brièvement la définition de la limite de Cauchy. Soit $(a_n)$ une suite réelle. On dit que cette suite admet une limite de Cauchy si, pour tout réel $\varepsilon>0$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout entier naturel $n$ et $m$ supérieurs ou égaux à $N$, on ait |$a_n – a_m$| < $\varepsilon$. En d'autres termes, cela signifie que pour tout écart choisi à l'avance, à partir d'un certain rang, les éléments de la suite sont tous proches les uns des autres. Pour prouver l'unicité de la limite de Cauchy, nous allons procéder par l'absurde. Supposons donc qu'une suite $(a_n)$ admette deux limites de Cauchy distinctes, notées $l_1$ et $l_2$. Cela signifie qu’il existe deux réels $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$, tous deux strictement positifs, tels que pour tout entier naturel $N_1$, il existe un entier naturel $n_1 \geq N_1$ tel que |$a_{n_1} – l_1$| < $\varepsilon_1$, et pour tout entier naturel $N_2$, il existe un entier naturel $n_2 \geq N_2$ tel que |$a_{n_2} - l_2$| < $\varepsilon_2$. Considérons maintenant $\varepsilon = \frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2}$. Par définition, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout entier naturel $n, m \geq N$, on ait |$a_n - a_m$| < $\varepsilon$. En particulier, pour $n = n_1, m = n_2 \geq N$, nous avons |$a_{n_1} - a_{n_2}$| < $\varepsilon$. De plus, on sait que |$a_{n_1} - l_1$| < $\varepsilon_1$ et |$a_{n_2} - l_2$| < $\varepsilon_2$. En utilisant l'inégalité triangulaire, nous obtenons : |$l_1 - l_2$| ≤ |$l_1 - a_{n_1}$| + |$a_{n_1} - a_{n_2}$| + |$a_{n_2} - l_2$| < $\varepsilon_1$ + $\varepsilon$ + $\varepsilon_2$ = $\varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2} + \varepsilon_2$ = $\frac{3}{2}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$. Cependant, par la définition de $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$, nous avons : $\varepsilon_1 = \frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2} - \frac{\varepsilon_2}{2}$. Par conséquent, |$l_1 - l_2$| < $\frac{3}{2}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$ = $\frac{3}{2}(\frac{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}{2} - \frac{\varepsilon_2}{2} + \varepsilon_2)$ = 2$\varepsilon_2$. Cela implique que |$l_1 - l_2$| < 2$\varepsilon_2$. Or, comme $\varepsilon_2$ peut être choisi aussi petit que souhaité, cela signifie que |$l_1 - l_2$| peut être aussi petit que souhaité. Ce qui contredit l'hypothèse de départ selon laquelle $l_1$ et $l_2$ étaient deux limites de Cauchy distinctes. Ainsi, nous avons prouvé que si une suite $(a_n)$ admet deux limites de Cauchy, alors ces deux limites sont en réalité identiques. Ce qui démontre l'unicité de la limite de Cauchy. En conclusion, grâce à cette démonstration par l'absurde, nous avons pu prouver l'unicité de la limite de Cauchy. Cela souligne l'importance de cette notion dans le domaine des mathématiques et permet de garantir une convergence unique pour une suite donnée.