Preuve de l'unicité de la limite de Cauchy

La notion de limite est un concept clé en mathématiques qui permet de définir précisément le comportement d’une suite ou d’une fonction lorsque la variable tend vers une certaine valeur. Dans le cadre de la théorie des limites, la limite de Cauchy joue un rôle fondamental. Mais comment pouvons-nous prouver son unicité ? C’est ce que nous allons explorer dans cet article.

Pour comprendre la preuve de l’unicité de la limite de Cauchy, commençons d’abord par rappeler la définition de cette notion. Soit (a_n) une suite réelle, on dit qu’elle a pour limite L si pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour tout m, n > N, |a_m – a_n| < ε. Maintenant, supposons qu'une suite (a_n) ait deux limites distinctes L et M. Cela signifie qu'il existe deux réels L et M tels que pour tout ε > 0, il existe un entier N_1 tel que pour tout n > N_1, |a_n – L| < ε ; et il existe un entier N_2 tel que pour tout n > N_2, |a_n – M| < ε. Considérons maintenant ε = |L - M|/2. Nous pouvons choisir N = max(N_1, N_2), c'est-à-dire le maximum entre N_1 et N_2. Pour n > N, nous avons :
|L – M| = |(L – a_n) + (a_n – M)| ≤ |L – a_n| + |a_n – M| < ε + ε = |L - M|/2 + |L - M|/2 = |L - M| Cela implique que 0 < |L - M| < |L - M|, ce qui est une contradiction. Par conséquent, la supposition selon laquelle la suite (a_n) a deux limites distinctes est fausse. En d'autres termes, si une suite a une limite, cette limite doit être unique. Cette preuve est appelée preuve de l'unicité de la limite de Cauchy. L'unicité de la limite de Cauchy est une propriété essentielle dans l'analyse mathématique. Elle permet de démontrer des résultats importants tels que la convergence des suites et des séries. Par exemple, si une suite a une limite, alors cette suite est convergente. De plus, la limite de cette suite est unique, ce qui signifie que la limite, si elle existe, est toujours la même, peu importe la méthode utilisée pour l’approcher.

En conclusion, la preuve de l’unicité de la limite de Cauchy démontre que si une suite a une limite, alors cette limite est unique. Cette preuve repose sur une contradiction logique qui montre que supposer l’existence de deux limites distinctes conduit à une contradiction. L’unicité de la limite de Cauchy est une propriété fondamentale qui permet de garantir la convergence des suites et des séries. Elle constitue ainsi un outil puissant dans l’étude des problèmes liés à la limite en mathématiques.