Un polynôme irréductible est un polynôme qui ne peut pas être décomposé en facteurs non triviaux. En d’autres termes, il ne peut pas être exprimé comme le produit de deux polynômes de degré inférieur.

Pour mieux comprendre ce concept, examinons d’abord quelques définitions de base. Un polynôme est une expression algébrique composée de termes de puissance croissante, avec des coefficients multiplicatifs. Par exemple, le polynôme P(x) = 3x^2 – 2x + 1 est un polynôme de degré 2, avec les coefficients 3, -2 et 1.

Un polynôme est dit réductible s’il peut être exprimé comme le produit de deux polynômes de degré inférieur. Par exemple, le polynôme Q(x) = (x + 1)(x – 2) peut être décomposé en facteurs de degré 1, (x + 1) et (x – 2), qui sont donc des polynômes réductibles.

En revanche, un polynôme est dit irréductible s’il ne peut pas être décomposé en facteurs non triviaux. Cela signifie que le polynôme ne peut pas être écrit comme le produit de polynômes de degré inférieur à moins que ces polynômes ne soient des constantes. Par exemple, le polynôme R(x) = x^2 + 1 est un polynôme irréductible, car il ne peut pas être exprimé comme le produit de deux polynômes de degré 1.

Il existe plusieurs critères permettant de déterminer si un polynôme est irréductible. L’un des critères les plus simples est le critère de Eisenstein. Selon ce critère, un polynôme P(x) de la forme P(x) = a_0 + a_1x + … + a_nx^n est irréductible si et seulement si il existe un nombre premier p tel que p divise tous les coefficients a_i pour i = 0, 1, …, n-1, et que p ne divise pas a_n, et que p^2 ne divise pas a_0.

Par exemple, le polynôme S(x) = 2x^3 – 3x^2 + 6x + 1 est irréductible selon le critère de Eisenstein, car il existe un nombre premier 2 qui divise tous les coefficients sauf le coefficient dominant 1, et que 2^2 ne divise pas le coefficient constant 1.

Un autre critère couramment utilisé pour déterminer la réductibilité d’un polynôme est le critère du degré. Selon ce critère, un polynôme de degré 2 ou 3 est irréductible s’il n’a pas de racines rationnelles. Par exemple, le polynôme T(x) = x^2 – 2 est irréductible, car il ne possède pas de racines rationnelles.

Cependant, il convient de noter que ces critères ne sont pas exhaustifs et qu’il existe d’autres méthodes pour déterminer la réductibilité d’un polynôme. Parfois, il peut être difficile de prouver la non-réductibilité d’un polynôme et cela peut nécessiter des techniques plus avancées en mathématiques.

En conclusion, un polynôme irréductible est un polynôme qui ne peut pas être décomposé en facteurs non triviaux. Il existe plusieurs critères qui permettent de déterminer si un polynôme est irréductible, tels que le critère de Eisenstein et le critère du degré. Cependant, il est important de noter que la détermination de la réductibilité d’un polynôme peut être complexe et nécessite souvent des techniques plus avancées.

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