Un nombre décimal périodique est un nombre dont la partie décimale se répète indéfiniment après la virgule. Il peut être représenté par une fraction dont le dénominateur est composé de chiffres 9. Par exemple, 0,333… est un nombre décimal périodique avec une période de 3.

Les nombres décimaux périodiques peuvent être divisés en deux catégories : les périodes simples et les périodes mixtes. Dans une période simple, un seul chiffre ou groupe de chiffres se répète sans interruption, tandis que dans une période mixte, plusieurs chiffres ou groupes de chiffres se répètent à différents endroits dans le nombre.

Pour comprendre davantage les nombres décimaux périodiques, nous pouvons examiner leur représentation en fractions. Prenons l’exemple du nombre 0,777… La partie décimale de ce nombre se répète indéfiniment avec une période de 7. Pour le représenter en fraction, nous pouvons écrire 0,777… comme suit :

x = 0,777…

En multipliant ce nombre par 10, nous déplaçons la virgule d’un chiffre vers la droite :

10x = 7,777…

En soustrayant l’équation précédente de x, nous obtenons :

9x = 7

x = 7/9

Donc, 0,777… peut être représenté comme la fraction 7/9.

Une autre catégorie de nombres décimaux périodiques est celle des périodes mixtes. Par exemple, prenons le nombre 0,131313… La partie décimale de ce nombre se répète avec une période mixte de 13. Pour le représenter en fraction, nous pouvons écrire 0,131313… comme suit :

x = 0,131313…

En multipliant ce nombre par 100, nous déplaçons la virgule de deux chiffres vers la droite :

100x = 13,131313…

En soustrayant l’équation précédente de x, nous obtenons :

99x = 13

x = 13/99

Donc, 0,131313… peut être représenté comme la fraction 13/99.

Il est important de noter que tous les nombres décimaux périodiques peuvent être représentés en tant que fractions, mais toutes les fractions ne peuvent pas être représentées comme des nombres décimaux périodiques. Par exemple, la fraction 1/3 ne peut pas être représentée précisément en décimal, car elle donne une période de 3 sans fin : 0,333…

Les nombres décimaux périodiques sont utilisés dans de nombreux domaines, notamment les mathématiques, la physique et l’ingénierie. Ils permettent d’exprimer des valeurs continues et infinies de manière précise et pratique.

En conclusion, les nombres décimaux périodiques sont des nombres dont la partie décimale se répète indéfiniment. Ils peuvent être représentés en fraction, avec le dénominateur composé de chiffres 9. Les nombres décimaux périodiques sont utilisés pour exprimer des valeurs infinies de manière précise et sont présents dans divers domaines.

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