La loi binomiale est une loi de probabilité discrète qui décrit le nombre de réussites dans une série d’essais indépendants et identiques. Elle est souvent utilisée pour modéliser des situations telles que le lancer de pièces ou de dés, ou le nombre de fois que des événements se produisent dans un échantillon donné.

Formule de la loi binomiale

La formule de la loi binomiale est la suivante :

P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)

où :

– P(X = k) est la probabilité d’obtenir k réussites dans n essais indépendants et identiques.
– (n choose k) est le coefficient binomial, qui représente le nombre de façons de choisir k éléments parmi un ensemble de n éléments sans ordre ni remplacement.
– p est la probabilité de réussite pour chaque essai.
– (1-p) est la probabilité d’échec pour chaque essai.

Exemple d’application

Prenons l’exemple d’un joueur de basket-ball dont la probabilité de marquer un panier est de 70%. Si le joueur tire 10 fois au panier, quelle est la probabilité qu’il marque exactement 7 paniers ?

Dans ce cas, n = 10, k = 7 et p = 0,7. Nous pouvons donc utiliser la formule de la loi binomiale :

P(X = 7) = (10 choose 7) * 0,7^7 * 0,3^3 = 0,2668

La probabilité que le joueur marque exactement 7 paniers sur 10 est de 0,2668, soit environ 27%.

Propriétés de la loi binomiale

– La somme des probabilités de toutes les valeurs possibles de X doit être égale à 1.
– La variance de la loi binomiale est calculée comme suit : Var(X) = n * p * (1-p).
– Plus le nombre d’essais est élevé (n) et plus la probabilité de réussite de chaque essai est proche de 0,5, plus la loi binomiale approxime une loi normale.

Utilisations de la loi binomiale

La loi binomiale est utilisée dans de nombreux domaines, tels que la statistique, la finance, la biologie et la physique.

En statistique, la loi binomiale est utilisée pour modéliser des événements binaires tels que la présence ou l’absence d’une maladie chez une personne, ou le fait que quelqu’un achète ou non un produit.

En finance, la loi binomiale est utilisée pour évaluer les options financières et les risques de marché.

En biologie, la loi binomiale est utilisée pour compter les cellules saines et les cellules cancéreuses lors du traitement du cancer.

En physique, la loi binomiale est utilisée pour modéliser la diffusion d’une particule dans un milieu.

Conclusion

La loi binomiale est une loi de probabilité discrète qui modélise le nombre de réussites dans une série d’essais indépendants et identiques. Elle est utilisée dans de nombreux domaines pour modéliser des événements binaires et est facilement calculable à l’aide de la formule de la loi binomiale.

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