Le théorème de Fermat sur les points stationnaires est l’un des résultats les plus importants en mathématiques. Il a été formulé par le mathématicien Pierre de Fermat au 17ème siècle et son énoncé est le suivant : si une fonction admet un extremum en un point, alors ce point est un point stationnaire, c’est-à-dire que sa dérivée s’annule en ce point.

Pour comprendre ce théorème, il est essentiel de bien comprendre deux concepts mathématiques de base : les extréma et les points stationnaires.

Un extremum d’une fonction est un point où la fonction atteint soit son maximum soit son minimum. Il peut être local, c’est-à-dire que la fonction peut avoir des valeurs plus grandes ou plus petites ailleurs, ou global, c’est-à-dire que la fonction ne peut pas atteindre une valeur plus grande ou plus petite. Les extréma peuvent être des points très importants dans l’étude d’une fonction, car ils peuvent fournir des informations précieuses sur son comportement.

Un point stationnaire, quant à lui, est un point où la dérivée d’une fonction s’annule. Cela signifie que la pente de la fonction à cet endroit est nulle, et donc que la fonction ne « change pas de direction » à ce point. Par conséquent, les points stationnaires sont souvent associés aux extréma, car ils peuvent être des candidats potentiels pour des maximums ou des minimums.

Le théorème de Fermat stipule donc que si une fonction admet un extremum en un point, alors ce point est un point stationnaire. En d’autres termes, les points où les extréma se produisent sont des points où la dérivée de la fonction s’annule. C’est un résultat fondamental en mathématiques, car il permet de simplifier considérablement l’étude des extréma d’une fonction. Au lieu de chercher tous les points où la fonction atteint un maximum ou un minimum, il suffit de trouver les points où la dérivée s’annule.

La démonstration du théorème de Fermat sur les points stationnaires repose sur l’utilisation de la dérivée de la fonction. En effet, pour trouver les points stationnaires, il suffit de résoudre l’équation de la dérivée de la fonction qui s’annule. Si la dérivée s’annule en un point, alors ce point est un point stationnaire.

Il convient de mentionner que le théorème de Fermat sur les points stationnaires ne fournit pas d’information sur la nature des extréma. Par exemple, il ne dit pas si un point extrémal est un maximum ou un minimum. Pour déterminer la nature d’un extrémum, il est nécessaire d’utiliser d’autres outils mathématiques, tels que la dérivée seconde ou le test de la dérivée.

En conclusion, le théorème de Fermat sur les points stationnaires est un résultat fondamental en mathématiques qui simplifie l’étude des extréma d’une fonction. Il indique que les points où les extréma se produisent sont des points où la dérivée de la fonction s’annule. Ce théorème permet ainsi de focaliser l’attention sur les points stationnaires lors de l’analyse des extréma. Il convient toutefois de noter que le théorème de Fermat ne fournit pas d’information sur la nature des extréma, qui doit être déterminée à l’aide d’autres outils mathématiques.

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