Le Crible d'Ératosthène est un algorithme

L’algorithme est basé sur le fait que tous les multiples d’un nombre premier sont composés, c’est-à-dire qu’ils ne sont pas des nombres premiers. Ainsi, en éliminant systématiquement tous les multiples connus d’un nombre premier, on peut filtrer les nombres premiers restants.

Le processus du crible d’Ératosthène commence par une liste de tous les nombres entiers compris entre 2 et le nombre maximum donné. Ces nombres sont tous initialement marqués comme des nombres premiers. Ensuite, on commence par le nombre 2, qui est le premier nombre premier.

On parcourt ensuite tous les multiples de 2 (c’est-à-dire 4, 6, 8, etc.) et on les marque comme des nombres composés. Puis on passe au multiple suivant de 2 non marqué qui est 3, et on répète le processus en marquant tous les multiples de 3 comme des nombres composés. On continue ainsi jusqu’à ce que tous les multiples de tous les nombres premiers connus soient marqués.

À la fin de l’algorithme, les seuls nombres non marqués restants sont les nombres premiers. Ces nombres sont donc identifiés comme tels et peuvent être utilisés pour diverses applications, comme la recherche de facteurs premiers ou la génération de nombres premiers aléatoires.

L’avantage clé du crible d’Ératosthène est qu’il permet de trouver tous les nombres premiers jusqu’à un certain nombre donné de manière relativement rapide et efficace. L’algorithme a une complexité de O(n log log n), ce qui signifie qu’il effectue un nombre de comparaisons proportionnel à n * log log n, où n est le nombre maximum donné.

En utilisant des améliorations supplémentaires, telles que ne parcourir que les nombres impairs ou limiter la recherche aux multiples des nombres premiers, on peut encore améliorer les performances de l’algorithme.

Le crible d’Ératosthène a été utilisé pendant des siècles comme l’un des principaux outils pour trouver les nombres premiers. Cependant, avec le développement des ordinateurs modernes, d’autres algorithmes plus sophistiqués et plus rapides ont été développés, tels que le test de primalité de Miller-Rabin ou l’algorithme de test de primalité AKS.

Malgré cela, le crible d’Ératosthène conserve sa simplicité et sa facilité d’utilisation, ce qui en fait toujours un choix populaire pour de nombreuses applications, en particulier lorsque la recherche de tous les nombres premiers jusqu’à un certain seuil est nécessaire.

En conclusion, le crible d’Ératosthène est un algorithme puissant et efficace pour trouver tous les nombres premiers jusqu’à un nombre donné. Il offre une méthode simple et facile à comprendre pour filtrer les nombres premiers des nombres composés en éliminant progressivement les multiples des nombres premiers connus. Bien qu’il existe des algorithmes plus sophistiqués pour la recherche de nombres premiers, le crible d’Ératosthène reste une option attrayante en raison de sa simplicité et de sa rapidité.