La loi du parallélogramme

La loi du parallélogramme énonce que, si deux vecteurs sont appliqués simultanément sur un point, alors la somme vectorielle de ces deux vecteurs peut être représentée par la diagonale d’un parallélogramme dont les côtés sont les deux vecteurs d’origine. En d’autres termes, si A et B sont deux vecteurs, alors leur somme vectorielle AB peut être représentée par la diagonale d’un parallélogramme dont les côtés sont les vecteurs A et B.

Cette loi découle des propriétés de la géométrie des vecteurs. On peut visualiser cette loi en imaginant deux forces agissant sur un point. Ces deux forces peuvent être représentées par des flèches dans l’espace, appelées vecteurs. Lorsque ces deux forces sont appliquées simultanément sur le point, leurs vecteurs sont sommés pour donner un nouveau vecteur représentant la résultante de ces forces.

Pour comprendre cette loi plus en détail, examinons sa démonstration mathématique. Supposons que A soit un vecteur et que B soit un autre vecteur appliqués simultanément sur un point O. Soit AB la somme vectorielle de ces deux vecteurs, représentée par la flèche reliant O à un point M.

Pour démontrer que AB est la diagonale d’un parallélogramme, nous devons montrer que les quatre côtés du parallélogramme ont la même longueur et sont parallèles deux à deux. Nous pouvons prouver cela en utilisant les propriétés des vecteurs.

Tout d’abord, considérons le segment de droite OA, qui représente le vecteur A. Puisque OA a la même direction et la même longueur que A, il est évident que OA = A.

De même, considérons le segment de droite OB, qui représente le vecteur B. Puisque OB a la même direction et la même longueur que B, il est évident que OB = B.

Maintenant, examinons le segment de droite OM, qui représente la somme vectorielle AB. Par la définition de la somme vectorielle, nous savons que OM = OA + OB.

Puisque OA = A et OB = B, cela signifie que OM = A + B, c’est-à-dire que OM représente bien la somme vectorielle des vecteurs A et B.

Maintenant, nous devons prouver que les quatre côtés du parallélogramme ont la même longueur et sont parallèles deux à deux. Pour cela, nous devons utiliser les propriétés des triangles égaux.

Puisque OM = OA + OB, on peut former un parallélogramme en ajoutant le segment de droite OA au segment de droite OB et en reliant les extrémités. En utilisant la propriété des triangles égaux, nous pouvons conclure que le segment de droite MA est égal au segment de droite OB.

De même, on peut conclure que le segment de droite MB est égal au segment de droite OA. Ainsi, les segments MA et OB, ainsi que les segments MB et OA, ont la même longueur.

De plus, les deux côtés opposés du parallélogramme, MA et OB, ainsi que MB et OA, sont parallèles deux à deux. Ceci est dû à la propriété des vecteurs parallèles.

Ainsi, nous avons prouvé que les quatre côtés du parallélogramme ont la même longueur et sont parallèles deux à deux. Par conséquent, la loi du parallélogramme est démontrée mathématiquement.

En conclusion, la loi du parallélogramme est une relation fondamentale dans la géométrie plane qui décrit la somme vectorielle de deux vecteurs appliqués simultanément sur un point. Cette loi permet de représenter graphiquement la somme de ces vecteurs par la diagonale d’un parallélogramme dont les côtés sont les vecteurs d’origine. La démonstration mathématique de cette loi repose sur les propriétés des vecteurs et des triangles égaux. La loi du parallélogramme trouve également des applications pratiques dans des domaines tels que la mécanique et l’optique.