Les polynômes du deuxième degré sont des expressions mathématiques souvent présentes dans les cours de mathématiques au collège et au lycée. Il est important de savoir comment les décomposer en facteurs pour faciliter leur résolution. Dans cet article, nous verrons les étapes pour décomposer un polynôme du deuxième degré.

Qu’est-ce qu’un polynôme du deuxième degré ?

Un polynôme du deuxième degré est une expression mathématique de la forme :

P(x) = ax² + bx + c

où a, b et c sont des coefficients réels ou complexes, et a ≠ 0.

Comment décomposer un polynôme du deuxième degré en facteurs ?

Pour décomposer un polynôme du deuxième degré, nous devons factoriser son expression en utilisant la méthode appropriée. Voici les étapes à suivre :

  1. Calculer le discriminant Δ = b² – 4ac.
  2. Si Δ > 0, le polynôme possède deux racines distinctes. Nous pouvons les trouver en utilisant la formule :

x = (-b ± √Δ) / (2a)

  • Les racines seront réelles si Δ est un nombre positif.
  • Les racines seront complexes si Δ est négatif.
  1. Si Δ = 0, le polynôme possède une racine double. La racine peut être trouvée en utilisant la formule :

x = -b / (2a)

  1. Si Δ < 0, le polynôme ne possède pas de racines réelles. Il n'est pas possible de le décomposer en facteurs réels.

Exemple de décomposition d’un polynôme du deuxième degré

Considérons le polynôme suivant :

P(x) = 2x² – 5x + 3

Calculons d’abord le discriminant :

Δ = (-5)² – 4 * 2 * 3 = 25 – 24 = 1

Comme Δ > 0, le polynôme possède deux racines distinctes. Nous pouvons utiliser la formule pour les trouver :

x₁ = (-(-5) + √1) / (2 * 2) = (5 + 1) / 4 = 6 / 4 = 1.5

x₂ = (-(-5) – √1) / (2 * 2) = (5 – 1) / 4 = 4 / 4 = 1

Ainsi, le polynôme peut être décomposé en :

P(x) = 2(x – 1.5)(x – 1)

Cette décomposition en facteurs permet de résoudre plus facilement le polynôme et de trouver les valeurs de x pour lesquelles il est égal à zéro.

En conclusion, la décomposition d’un polynôme du deuxième degré en facteurs est une étape importante pour résoudre des problèmes mathématiques. En utilisant les formules appropriées et en calculant le discriminant, il est possible de factoriser le polynôme et de trouver ses racines. Cette technique est essentielle dans divers domaines des mathématiques et de la physique.

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