Intersection d'une droite avec une parabole - Exercices

L’intersection entre une droite et une parabole est l’un des problèmes classiques de la géométrie analytique. Elle peut être abordée à travers différentes méthodes, telles que l’utilisation des équations cartésiennes ou la résolution de systèmes d’équations. Dans cet article, nous allons présenter quelques exercices afin de mieux comprendre ce concept.

Exercice 1 :
Soit la droite d’équation y = 2x – 1 et la parabole d’équation y = x². Déterminer les points d’intersection entre ces deux courbes.

Pour résoudre cet exercice, nous devons égaliser les équations de la droite et de la parabole pour trouver les valeurs communes à x et y. Nous obtenons donc l’équation suivante : x² = 2x – 1.

En simplifiant cette équation, nous avons x² – 2x + 1 = 0. En la factorisant, nous trouvons (x – 1)² = 0. Il en découle donc que x = 1.

En remplaçant cette valeur dans l’une des équations, nous trouvons y = 1² = 1. Ainsi, les coordonnées du point d’intersection entre la droite et la parabole sont P(1, 1).

Exercice 2 :
Soit la droite d’équation y = -3x + 4 et la parabole d’équation y = -x² + 2x + 6. Trouver les points d’intersection entre ces deux courbes.

De manière similaire à l’exercice précédent, nous devons égaliser les équations de la droite et de la parabole. Nous obtenons donc l’équation suivante : -x² + 2x + 6 = -3x + 4.

En simplifiant cette équation, nous avons -x² + 5x + 2 = 0. Pour résoudre cette équation quadratique, nous pouvons utiliser la formule du discriminant. Dans ce cas, D = 5² – 4 * (-1) * 2 = 25 + 8 = 33.

Puisque le discriminant est positif, cette équation admet deux solutions réelles distinctes. Nous pouvons donc l’écrire sous la forme : x = (-5 + √33) / -2 et x = (-5 – √33) / -2.

En remplaçant ces valeurs dans l’une des équations, nous pouvons trouver les coordonnées des deux points d’intersection entre la droite et la parabole.

Exercice 3 :
Soit la droite d’équation y = 3x + 2 et la parabole d’équation y = x² – 5. Déterminer les points d’intersection.

En égalisant les équations, nous obtenons l’équation suivante : x² – 3x – 7 = 0.

Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser la méthode du discriminant. Dans ce cas, D = (-3)² – 4 * 1 * (-7) = 9 + 28 = 37.

Puisque le discriminant est positif, l’équation admet deux solutions réelles distinctes. Ainsi, nous obtenons x = (3 + √37) / 2 et x = (3 – √37) / 2.

En remplaçant ces valeurs dans l’une des équations, nous trouvons les coordonnées des deux points d’intersection entre la droite et la parabole.

En conclusion, l’intersection entre une droite et une parabole peut être déterminée en égalisant les équations des deux courbes. En résolvant ces équations, nous obtenons les coordonnées des points d’intersection. Il est important de noter que le nombre de points d’intersection peut varier d’un exercice à l’autre, en fonction des solutions des équations. Cet exercice permet de mettre en pratique les connaissances en résolution d’équations quadratiques et d’acquérir une meilleure compréhension de la manière dont les droites et les paraboles peuvent se croiser dans un plan cartésien.