Les fractions rationnelles sont un concept mathématique relativement complexe, mais extrêmement important. Elles sont utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, notamment en économie, en statistiques et en ingénierie.

Une fraction rationnelle est essentiellement le quotient de deux polynômes, où le polynôme du numérateur et du dénominateur peut être de n’importe quel degré et peut avoir des coefficients réels ou complexes. Par exemple, 2x^3 + 3x^2 – 1 / x^2 + 4 est une fraction rationnelle.

Les fractions rationnelles peuvent être simplifiées en annulant les facteurs communs entre le numérateur et le dénominateur. Par exemple, si nous avons la fraction rationnelle 6x^2 + 9x / 3x^2 + 9x, nous pouvons simplifier en divisant à la fois le numérateur et le dénominateur par 3x. Cela donne alors 2x / x + 3.

Les fractions rationnelles ont plusieurs propriétés importantes. L’une d’entre elles est que les racines du dénominateur sont appelées les pôles de la fraction rationnelle. Ces pôles déterminent le comportement de la fraction rationnelle dans son ensemble. Par exemple, si un pôle est réel et positif, la fraction rationnelle aura une asymptote verticale à l’endroit du pôle. Si le pôle est complexe, alors la fraction rationnelle oscille autour de ce pôle.

Une autre propriété importante des fractions rationnelles est qu’elles peuvent être utilisées pour représenter des fonctions rationnelles. Une fonction rationnelle est simplement une fonction dont le numérateur et le dénominateur sont tous les deux des polynômes. Les fonctions rationnelles peuvent être utilisées pour modéliser des phénomènes du monde réel, tels que la croissance d’une population ou la décomposition radioactive.

Les fractions rationnelles peuvent également être utilisées pour effectuer des calculs mathématiques. Par exemple, elles peuvent être utilisées pour trouver des expressions équivalentes et des valeurs exactes pour des nombres irrationnels. Par exemple, la fraction rationnelle x / (x^2 – 2) peut être utilisée pour représenter la racine carrée de deux. En substituant x par la racine carrée de deux, la fraction rationnelle devient (racine carrée de deux) / (2 – 2), ce qui est équivalent à (racine carrée de deux) / 0. Par conséquent, la fraction rationnelle permet de représenter exactement la racine carrée de deux.

Enfin, les fractions rationnelles sont utilisées dans l’étude des limites et des asymptotes. Les limites d’une fraction rationnelle peuvent être déterminées en évaluant les pôles de la fraction rationnelle. Par exemple, si le polynôme du dénominateur a une racine unique x = a, alors la limite de la fraction rationnelle lorsque x approche a est soit infinie, soit moins infinie. Les asymptotes d’une fraction rationnelle dépendent également des pôles de la fraction rationnelle. Par exemple, une fraction rationnelle peut avoir une asymptote verticale à un pôle réel, ou une asymptote oblique à un pôle complexe.

En conclusion, les fractions rationnelles sont un concept mathématique important qui est utilisé dans de nombreux domaines de la mathématique et de la physique. Elles permettent de représenter des fonctions rationnelles, de simplifier des expressions mathématiques et de résoudre des problèmes mathématiques complexes. Les propriétés des fractions rationnelles, telles que les pôles, les limites et les asymptotes, sont essentielles pour comprendre leur comportement global.

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