Les fractions algébriques sont une notion essentielle en mathématiques, en particulier en algèbre. Elles jouent un rôle clé dans de nombreux domaines, tels que les équations, les polynômes, la factorisation et la simplification d’expressions rationnelles. Dans cet article, nous allons explorer la définition des fractions algébriques et découvrir comment les utiliser pour résoudre des problèmes mathématiques.

Une fraction algébrique est une expression rationnelle où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. Un polynôme est une expression mathématique qui est formée de la somme ou de la différence de termes multiples de variables élevées à des puissances entières. Par exemple, les expressions suivantes sont des polynômes : 3x² + 2x – 5 et 4y³ – y² + 6y.

Pour comprendre comment fonctionnent les fractions algébriques, il est important de maîtriser les opérations de base sur les polynômes, telles que l’addition, la soustraction, la multiplication et la division. Lorsque nous manipulons des fractions algébriques, nous devons également nous assurer que le dénominateur n’est jamais égal à zéro, car cela entraînerait une division par zéro, ce qui est mathématiquement indéfini.

Prenons un exemple concret pour illustrer l’utilisation des fractions algébriques. Supposons que nous ayons une équation telle que (2x + 3) / (x – 2) = 5. Pour résoudre cette équation, nous devons d’abord trouver la valeur de x qui satisfait à cette équation. Pour ce faire, nous devons « se débarrasser » du dénominateur en multipliant les deux côtés de l’équation par (x – 2). De cette manière, le dénominateur est éliminé et nous pouvons résoudre facilement l’équation en simplifiant l’expression obtenue.

Une fois le dénominateur éliminé, nous avons l’équation 2x + 3 = 5(x – 2). En développant cette expression, nous obtiendrons 2x + 3 = 5x – 10. Ensuite, en isolant les termes en x d’un côté de l’équation, nous aurons -3x = -13. En divisant les deux côtés de l’équation par -3, nous obtenons x = 13/3, qui est la solution de notre équation.

Il est important de noter que les fractions algébriques peuvent aussi être utilisées pour représenter des nombres irrationnels, tels que √2 ou π, sous une forme fractionnaire approchée. Par exemple, nous pouvons approximer √2 en utilisant la fraction 17/12. Cette fraction nous donne une approximation suffisamment précise de √2, qui est égale à environ 1.4142, mais elle n’est pas exacte car √2 est un nombre irrationnel.

En conclusion, les fractions algébriques sont des outils puissants en mathématiques qui nous permettent de manipuler des expressions polynomiales de manière rationnelle. Elles jouent un rôle clé dans la résolution d’équations, la factorisation de polynômes et la simplification d’expressions rationnelles. Il est essentiel de comprendre les opérations de base sur les polynômes pour pouvoir utiliser efficacement les fractions algébriques. En les maîtrisant, nous sommes capables de résoudre des problèmes mathématiques complexes et de mieux comprendre le monde qui nous entoure.

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