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Les fractions algébriques sont un concept mathématique essentiel dans l’algèbre. Elles permettent de représenter des expressions rationnelles sous la forme d’un rapport de deux polynômes. Dans cet article, nous proposons des exercices pratiques ainsi que leurs solutions pour vous permettre de vous exercer dans ce domaine.
Exercice 1 :
Simplifiez la fraction algébrique suivante : (3x^2 – 9x) / (6x)
Solution :
Pour simplifier cette fraction, nous pouvons tout d’abord factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme commun 3x :
(3x^2 – 9x) / (6x) = (3x(x – 3)) / (6x)
Ensuite, nous pouvons simplifier la fraction en annulant le facteur commun 3x dans le numérateur et le dénominateur :
(3x(x – 3)) / (6x) = (x – 3) / 2
Exercice 2 :
Effectuez la multiplication des fractions algébriques suivantes : (2x – 4) / (x + 1) * (x + 2) / (x – 2)
Solution :
Pour effectuer la multiplication de ces fractions, nous devons d’abord factoriser les polynômes :
(2x – 4) / (x + 1) * (x + 2) / (x – 2) = (2(x – 2)) / (x + 1) * (x + 2) / (x – 2)
Ensuite, nous simplifions la fraction en annulant le facteur commun (x – 2) dans le numérateur et le dénominateur :
(2(x – 2)) / (x + 1) * (x + 2) / (x – 2) = 2(x + 2) / (x + 1)
Enfin, nous simplifions la fraction en annulant le facteur commun x + 2 dans le numérateur et le dénominateur :
2(x + 2) / (x + 1) = 2
Exercice 3 :
Divisez les fractions algébriques suivantes : (4x^2 – 9) / (2x) ÷ (2x + 1) / (x – 1)
Solution :
Pour diviser ces fractions, nous devons changer la division en multiplication en inversant la seconde fraction :
(4x^2 – 9) / (2x) ÷ (2x + 1) / (x – 1) = (4x^2 – 9) / (2x) * (x – 1) / (2x + 1)
Ensuite, nous factorisons les polynômes :
(4x^2 – 9) / (2x) * (x – 1) / (2x + 1) = [(2x – 3)(2x + 3)] / (2x) * (x – 1) / [(2x + 1)(x – 1)]
Puis, nous simplifions la fraction en annulant les facteurs communs :
[(2x – 3)(2x + 3)] / (2x) * (x – 1) / [(2x + 1)(x – 1)] = (2x – 3)(2x + 3) / (2x + 1)
Exercice 4 :
Résolvez l’équation suivante : (2x – 1) / (x – 3) = 1
Solution :
Pour résoudre cette équation, nous devons tout d’abord multiplier les deux côtés de l’équation par le dénominateur (x – 3) afin de se débarrasser des fractions :
(2x – 1) / (x – 3) = 1
(2x – 1) = (x – 3)
Ensuite, nous rassemblons les termes contenant x d’un côté de l’équation et les termes constants de l’autre côté :
2x – 1 – x + 3 = 0
x + 2 = 0
Enfin, nous isolons x :
x = -2
Les fractions algébriques sont un outil puissant en mathématiques, permettant de simplifier des expressions rationnelles et de résoudre divers problèmes. La pratique de ces exercices vous aidera à maîtriser les concepts fondamentaux de ce domaine.
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