Les formules sinus et cosinus sont des outils essentiels pour résoudre des problèmes de trigonométrie appliquée aux triangles. Ils permettent de calculer les longueurs des côtés et les mesures des angles d’un triangle à partir d’informations partielles.

Pour commencer, regardons les définitions des fonctions sinus et cosinus. Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle agu est défini comme étant le rapport de la longueur du côté opposé à l’angle a sur la longueur de l’hypoténuse. Mathématiquement, cela s’écrit :

sin(a) = côté opposé / hypoténuse

De même, le cosinus d’un angle a dans un triangle rectangle est défini comme étant le rapport de la longueur du côté adjacent à l’angle a sur la longueur de l’hypoténuse. Mathématiquement, cela s’écrit :

cos(a) = côté adjacent / hypoténuse

Ces définitions sont valables uniquement pour les triangles rectangles. Cependant, les formules sinus et cosinus peuvent également être utilisées dans des triangles quelconques.

Pour un triangle quelconque, les formules sinus et cosinus peuvent être exprimées en termes des longueurs des côtés du triangle. Considérons un triangle ABC, dont les côtés opposés aux angles respectifs a, b et c sont notés a, b et c. Les formules sinus et cosinus pour ce triangle sont les suivantes :

sin(a) = a / c
sin(b) = b / c
sin(c) = a / b

cos(a) = b / c
cos(b) = a / c
cos(c) = a / b

Ces formules peuvent être utilisées pour calculer les mesures des angles ou les longueurs des côtés, en fonction des informations fournies. Si nous connaissons les mesures des angles et la longueur d’un côté d’un triangle, nous pouvons utiliser ces formules pour trouver les longueurs des autres côtés. De même, si nous connaissons les longueurs des côtés d’un triangle, nous pouvons utiliser ces formules pour déterminer les mesures des angles.

Par exemple, supposons que nous ayons un triangle ABC avec les mesures des angles suivantes : a = 30 degrés, b = 60 degrés et c = 90 degrés. Si nous connaissons la longueur du côté opposé à l’angle a (côté a), nous pouvons utiliser la formule sin(a) = a / c pour calculer la longueur du côté adjacent à l’angle a (côté b). De même, la formule sin(b) = b / c peut être utilisée pour calculer la longueur du côté opposé à l’angle b. Finalement, la formule cos(c) = a / b peut être utilisée pour calculer la longueur de l’hypoténuse.

Les formules sinus et cosinus pour les triangles sont donc des outils puissants et utiles pour résoudre des problèmes de trigonométrie. Elles permettent de calculer les longueurs des côtés et les mesures des angles d’un triangle, en fonction des informations fournies. En comprenant et en utilisant ces formules, nous pouvons résoudre efficacement des problèmes liés à la géométrie des triangles.

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