La fonction surjective, également appelée fonction subjective ou fonction épi, est un concept important en mathématiques qui trouve de nombreuses applications dans divers domaines, notamment en algèbre et en analyse. Pour mieux comprendre cette notion, prenons un exemple concret.

Considérons une fonction f : R → R qui associe à chaque nombre réel x son double, c’est-à-dire f(x) = 2x. Cette fonction est-elle surjective ? Autrement dit, est-il possible de trouver pour chaque y réel un x réel tel que f(x) = y ?

Pour vérifier cela, nous devons prendre en compte que l’image de f est l’ensemble des nombres réels pairs. En effet, pour tout x réel, f(x) = 2x est toujours un nombre pair. Par conséquent, pour tout y réel pair, il est possible de trouver un x réel tel que f(x) = y. Par exemple, si y = 4, alors x = 2 est une solution puisque f(2) = 2*2 = 4. De même, pour y = -6, la solution est x = -3 car f(-3) = 2*(-3) = -6.

Cependant, si nous prenons un nombre réel impair, comme y = 3, il n’est pas possible de trouver un x réel qui satisfait f(x) = 3. En effet, aucun nombre réel multiplié par 2 ne peut donner un résultat égal à 3. Par conséquent, la fonction f : R → R n’est pas surjective puisque tous les nombres réels ne sont pas des images possibles.

Cet exemple illustre bien la notion de fonction surjective. Une fonction est dite surjective si son image, c’est-à-dire l’ensemble des images possibles, est égal à son ensemble d’arrivée, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs possibles de la fonction.

Dans le cas de notre exemple, l’image de la fonction f n’inclut que les nombres réels pairs, tandis que l’ensemble d’arrivée est l’ensemble de tous les nombres réels. Comme ces deux ensembles ne sont pas égaux, la fonction n’est pas surjective.

Il est important de noter que toutes les fonctions ne sont pas nécessairement surjectives. Certaines fonctions auront des images limitées ou restreintes, ce qui signifie qu’elles ne pourront pas prendre toutes les valeurs possibles de leur ensemble d’arrivée.

En mathématiques, la surjectivité est une propriété qui peut être utilisée pour caractériser et classer les fonctions. Elle est souvent utilisée en conjonction avec d’autres propriétés telles que l’injectivité (ou la bijectivité) pour déterminer si une fonction est inversible ou non.

En conclusion, la fonction f(x) = 2x illustrée dans cet exemple n’est pas surjective car elle ne peut pas prendre toutes les valeurs possibles de l’ensemble des nombres réels. La surjectivité est une propriété importante en mathématiques qui permet de déterminer si une fonction peut atteindre toutes les valeurs de son ensemble d’arrivée.

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