d’une fonction surjective ?

Une fonction surjective est une notion fondamentale en mathématiques. Elle joue un rôle important dans de nombreux domaines tels que l’analyse, l’algèbre linéaire, la géométrie, etc. Dans cet article, nous allons nous pencher sur les caractéristiques d’une fonction surjective.

Tout d’abord, qu’est-ce qu’une fonction surjective ? Une fonction f : A → B est dite surjective si, pour tout élément y dans l’ensemble B, il existe au moins un élément x dans l’ensemble A tel que f(x) = y. En d’autres termes, chaque élément de B a au moins un antécédent dans A.

La première caractéristique d’une fonction surjective est qu’elle « couvre » tout l’ensemble d’arrivée B. Autrement dit, l’image de la fonction f est égale à tout l’ensemble B. En d’autres termes, aucun élément de B n’est laissé sans image par la fonction surjective f.

Deuxièmement, une fonction surjective peut être représentée graphiquement par une courbe qui « couvre » tout le plan cartésien. Chaque point du plan a un antécédent dans l’ensemble de départ A. Ainsi, la courbe de la fonction traverse tous les points du plan et ne laisse aucun point sans image.

Un troisième point important est que, contrairement à une fonction injective (où chaque élément de l’ensemble de départ est associé à un seul élément de l’ensemble d’arrivée), une fonction surjective peut associer plusieurs éléments de l’ensemble de départ à un même élément de l’ensemble d’arrivée. En d’autres termes, différents éléments de l’ensemble de départ peuvent avoir la même image dans l’ensemble d’arrivée.

Une caractéristique intéressante des fonctions surjectives est leur lien avec l’inverse de la fonction. Pour une fonction surjective f : A → B, il existe une fonction inverse (notée f^-1) qui est définie de B vers A. La fonction inverse permet de retrouver l’antécédent d’un élément donné dans l’ensemble B.

Il est également important de noter que si une fonction est à la fois surjective et injective, on l’appelle une fonction bijective. Dans ce cas, chaque élément de l’ensemble de départ est associé à un unique élément de l’ensemble d’arrivée et vice-versa.

Enfin, les fonctions surjectives sont souvent utilisées pour étudier la cardinalité des ensembles. En effet, si une fonction f : A → B est surjective, cela signifie que l’ensemble B a une cardinalité supérieure ou égale à celle de l’ensemble A. Autrement dit, l’ensemble d’arrivée est au moins aussi grand que l’ensemble de départ.

En conclusion, une fonction surjective est caractérisée par le fait qu’elle « couvre » tout l’ensemble d’arrivée, qu’elle peut associer plusieurs éléments de l’ensemble de départ à un même élément de l’ensemble d’arrivée, qu’elle possède une fonction inverse et qu’elle est utilisée pour étudier la cardinalité des ensembles. Les fonctions surjectives sont des outils mathématiques essentiels pour comprendre les relations entre les ensembles et pour résoudre divers problèmes dans de nombreux domaines.

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