Une fonction non injective est une fonction mathématique qui n’associe pas une unique valeur à chaque élément de son domaine de définition. Dans cet article, nous allons explorer les différentes propriétés et caractéristiques des fonctions non injectives.

Une fonction injective, également appelée fonction un à un, est une fonction où chaque élément de l’ensemble de départ est associé à un seul élément de l’ensemble d’arrivée. Autrement dit, pour chaque image, il n’existe qu’un seul antécédent. Cependant, une fonction non injective peut associer plusieurs éléments de l’ensemble de départ à un même élément de l’ensemble d’arrivée.

La non injectivité est souvent illustrée par le concept de perte d’information lors de l’application de la fonction. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x^2, où x est un nombre réel. Cette fonction est non injective, car pour chaque valeur positive de x, on obtient la même valeur pour f(x) que pour la valeur négative correspondante de x. Par exemple, f(2) = f(-2) = 4. Dans ce cas, l’application de la fonction a entraîné la perte d’information quant à la signe de x.

Une autre caractéristique clé des fonctions non injectives est la présence de valeurs distinctes ayant les mêmes images. Par exemple, si nous prenons la fonction g(x) = x mod 5, où x est un nombre entier, nous pouvons observer que les éléments 2 et 7 ont la même image, c’est-à-dire 2. Par conséquent, cette fonction est également non injective, car elle associe différentes valeurs à une même image.

La représentation graphique d’une fonction non injective se traduit souvent par des lignes horizontales parallèles à l’axe des abscisses. Cela est dû au fait que plusieurs éléments du domaine de définition sont associés à une même image. En d’autres termes, la droite horizontale correspond à tous les éléments ayant la même image. Par exemple, la fonction h(x) = 3, pour tout x réel, est non injective et est représentée par une droite horizontale située à la hauteur y = 3 sur le plan cartésien.

Il est important de noter que la fonction non injective ne doit pas être confondue avec la fonction surjective. Une fonction surjective est une fonction dans laquelle chaque élément de l’ensemble d’arrivée est obtenu en appliquant la fonction à un élément de l’ensemble de départ. Autrement dit, l’image de la fonction est égale à son ensemble d’arrivée. Une fonction non injective peut être surjective ou non.

La non injectivité peut également être utilisée pour démontrer que deux ensembles ont le même cardinal, c’est-à-dire le même nombre d’éléments. Si une fonction non injective peut être établie entre deux ensembles A et B, cela signifie que ces ensembles ont le même nombre d’éléments. Par exemple, si nous pouvons établir une fonction non injective entre un ensemble de 3 pommes et un ensemble de 3 bananes, cela indique que les deux ensembles ont le même nombre d’éléments, à savoir 3.

En conclusion, une fonction non injective est une fonction qui n’associe pas une unique valeur à chaque élément de son domaine de définition. La non injectivité est souvent illustrée par la présence de plusieurs éléments ayant la même image et par la présence de lignes horizontales parallèles à l’axe des abscisses dans la représentation graphique. La non injectivité d’une fonction peut également être utilisée pour comparer le nombre d’éléments de deux ensembles.

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