L’utilisation du carré d’un binôme est un concept fondamental en mathématiques. Il est utilisé pour développer et simplifier des expressions algébriques, ainsi que pour résoudre des équations. Dans cet article, nous allons examiner les différentes méthodes pour effectuer des exercices sur l’utilisation du carré d’un binôme.

Pour commencer, il est important de comprendre ce qu’est un binôme. Un binôme est une expression mathématique qui contient deux termes séparés par un signe plus ou moins. Par exemple, (a + b) est un binôme où a et b sont des variables ou des constantes.

Le carré d’un binôme est l’opération qui consiste à multiplier le binôme par lui-même. Par exemple, le carré de (a + b) est (a + b) × (a + b), ce qui donne a² + 2ab + b². Pour effectuer cette multiplication, on utilise la règle du produit des binômes.

La règle du produit des binômes stipule que le carré d’un binôme est égal au carré du premier terme plus deux fois le produit du premier terme par le deuxième terme, plus le carré du deuxième terme. Cela peut être écrit sous la forme suivante : (a + b)² = a² + 2ab + b².

Maintenant, voyons comment appliquer cette règle à travers des exercices.

Exercice 1 : Calculer le carré de (2x + 3)

Pour résoudre cet exercice, nous utilisons la règle du produit des binômes :
(2x + 3)² = (2x)² + 2(2x)(3) + 3²
= 4x² + 12x + 9

Donc, le carré de (2x + 3) est égal à 4x² + 12x + 9.

Exercice 2 : Simplifier l’expression (x + 5)² – (2x + 3)²

Pour simplifier cette expression, nous devons d’abord calculer les carrés des binômes :
(x + 5)² = x² + 2(x)(5) + 5² = x² + 10x + 25
(2x + 3)² = (2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9

Maintenant, remplaçons ces expressions dans l’expression initiale :
(x + 5)² – (2x + 3)² = (x² + 10x + 25) – (4x² + 12x + 9)
= x² + 10x + 25 – 4x² – 12x – 9

En combinant les termes similaires, nous obtenons :
= -3x² – 2x + 16

Donc, l’expression simplifiée est -3x² – 2x + 16.

Exercice 3 : Résoudre l’équation (x + 4)² = 36

Pour résoudre cette équation, nous devons d’abord développer le carré du binôme :
(x + 4)² = x² + 2(x)(4) + 4² = x² + 8x + 16

Maintenant, nous pouvons écrire l’équation :
x² + 8x + 16 = 36

En soustrayant 36 des deux côtés de l’équation, nous obtenons :
x² + 8x – 20 = 0

Pour résoudre cette équation quadratique, nous pouvons utiliser la méthode du discriminant ou la factorisation. Dans cet exemple, nous allons utiliser la factorisation :
(x + 10)(x – 2) = 0

Donc, les solutions de l’équation sont x = -10 et x = 2.

En conclusion, l’utilisation du carré d’un binôme est un outil puissant en mathématiques, car il nous permet de développer et simplifier des expressions, ainsi que de résoudre des équations. En appliquant la règle du produit des binômes, nous pouvons effectuer différents exercices et les résoudre en utilisant les techniques appropriées. Il est important de pratiquer régulièrement ces exercices pour renforcer notre compréhension de ce concept et améliorer nos compétences en algèbre.

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