Exercices sur les systèmes linéaires avec leurs solutions

Les systèmes linéaires constituent l’une des notions fondamentales en mathématiques. Ces derniers permettent de modéliser et de résoudre de nombreux problèmes concrets. Afin de se familiariser avec ces systèmes, il est important de s’exercer régulièrement. Dans cet article, nous vous proposons des exercices sur les systèmes linéaires, accompagnés de leurs solutions.

Exercice 1 :

Résoudre le système suivant :

2x + 3y = 7
4x – y = -1

Pour résoudre ce système, nous pouvons utiliser la méthode de substitution. Dans la première équation, isolons x :

2x = 7 – 3y
x = (7 – 3y) / 2

Remplaçons x dans la deuxième équation :

4((7 – 3y) / 2) – y = -1
(14 – 6y) / 2 – y = -1
14 – 6y – 2y = -2
14 – 8y = -2
-8y = -2 -14
-8y = -16
y = -16 / -8
y = 2

Maintenant que nous avons la valeur de y, remplaçons-la dans l’une des équations d’origine pour trouver x :

2x + 3(2) = 7
2x + 6 = 7
2x = 7 – 6
2x = 1
x = 1 / 2
x = 0.5

Ainsi, la solution du système est x = 0.5 et y = 2.

Exercice 2 :

Résoudre le système suivant :

3x – 2y = 10
2x + 4y = -2

Cette fois-ci, nous allons utiliser la méthode de l’addition pour résoudre le système. Multiplions la première équation par 2 et la deuxième équation par -3 :

6x – 4y = 20
-6x – 12y = 6

En ajoutant ces deux équations, nous obtenons :

-16y = 26
y = 26 / -16
y = -1.625

Remplaçons la valeur de y dans l’une des équations pour trouver x :

3x – 2(-1.625) = 10
3x + 3.25 = 10
3x = 10 – 3.25
3x = 6.75
x = 6.75 / 3
x = 2.25

Donc, la solution du système est x = 2.25 et y = -1.625.

Exercice 3 :

Résoudre le système suivant :

x + y = 5
2x – 3y = 1

Pour résoudre ce système, utilisons la méthode de substitution. Isolons x dans la première équation :

x = 5 – y

Remplaçons x dans la deuxième équation :

2(5 – y) – 3y = 1
10 – 2y – 3y = 1
-5y = 1 – 10
-5y = -9
y = -9 / -5
y = 1.8

Maintenant, intégrons la valeur de y dans l’une des équations pour trouver x :

x + 1.8 = 5
x = 5 – 1.8
x = 3.2

Ainsi, la solution du système est x = 3.2 et y = 1.8.

En pratiquant régulièrement ce type d’exercices, vous pourrez développer vos compétences en résolution de systèmes linéaires. N’oubliez pas de vérifier vos réponses en remplaçant les valeurs trouvées dans les équations d’origine. Bonne pratique !