Exercices sur les inégalités logarithmiques

Les inégalités logarithmiques sont un outil mathématique important pour étudier les comportements de certaines fonctions. Elles permettent notamment de comparer des expressions contenant des logarithmes. Dans cet article, nous allons voir plusieurs exemples d’exercices qui mettent en jeu les inégalités logarithmiques.

Exercice 1 :
Soit x un nombre réel strictement positif. Montrer que ln(x) < x - 1. Solution : On commence par définir une nouvelle fonction f(x) = ln(x) - x + 1. On calcule alors sa dérivée : f'(x) = 1/x - 1. Comme x est strictement positif, cette dérivée est toujours négative. On en déduit que f(x) est une fonction décroissante. Or, f(1) = ln(1) - 1 + 1 = 0. Donc, pour tout x strictement positif, on a f(x) < 0, c'est-à-dire ln(x) < x - 1. Exercice 2 : Soit x un nombre réel positif. Comparer les expressions ln(x + 1) et x. Solution : On commence par définir une nouvelle fonction g(x) = ln(x + 1) - x. On calcule sa dérivée : g'(x) = 1/(x + 1) - 1. Pour que cette dérivée soit positive, il faut que 1/(x + 1) > 1, c’est-à-dire x < 0. Donc, g(x) est décroissante sur l'intervalle ]-∞, 0]. En évaluant g(x) en x = 0, on trouve g(0) = ln(1) - 0 = 0. Donc, pour tout x positif, on a g(x) > 0, c’est-à-dire ln(x + 1) > x.

Exercice 3 :
Soit x un nombre réel positif. Montrer que ln(1 + x) < x. Solution : On peut utiliser une méthode géométrique pour démontrer cette inégalité. Soit f(x) = ln(1 + x) - x. On veut montrer que f(x) < 0 pour tout x positif. On constate que f(0) = ln(1) - 0 = 0. La dérivée de f(x) est donnée par f'(x) = 1/(1 + x) - 1. On remarque que f'(x) est toujours négative puisque 1/(1 + x) < 1 pour tout x positif. Par conséquent, f(x) est une fonction décroissante. Donc, pour tout x positif différent de 0, on a f(x) < f(0), c'est-à-dire ln(1 + x) < x. Exercice 4 : Soit x et y deux nombres réels tels que 1 < x < y. Comparer les expressions ln(x) et ln(y). Solution : On peut utiliser la fonction f(x) = ln(x) pour résoudre cet exercice. On veut montrer que f(x) < f(y), c'est-à-dire ln(x) < ln(y). En utilisant les propriétés des logarithmes, on peut écrire cette inégalité comme suit : x < y. Comme l'énoncé indique que 1 < x < y, on a directement x < y. Donc, ln(x) < ln(y). En conclusion, les exercices sur les inégalités logarithmiques permettent de manipuler les expressions contenant des logarithmes. Les propriétés des fonctions logarithmiques et de leurs dérivées sont essentielles pour résoudre ces exercices. L'utilisation de méthodes géométriques peut également faciliter la démonstration des inégalités logarithmiques. En pratiquant ces exercices, vous vous familiariserez avec ces notions importantes et renforcerez vos compétences en mathématiques.