Les fractions algébriques sont un concept mathématique qui combine des expressions algébriques avec des fractions. Pour certains, cela peut sembler complexe, mais avec un peu de pratique et de compréhension, les exercices sur les fractions algébriques deviennent plus accessibles. Dans cet article, nous allons aborder plusieurs exercices sur ce sujet, accompagnés de leurs solutions.

Pour commencer, prenons un exemple simple : simplifier l’expression (x^2 – 4x + 3) / (x – 1). Pour y parvenir, nous pouvons factoriser le numérateur et le dénominateur. Le numérateur peut être factorisé en (x – 1)(x – 3), tandis que le dénominateur reste inchangé. Nous pouvons donc simplifier l’expression en (x – 3) / 1, qui est équivalente à x – 3.

Passons maintenant à un exercice un peu plus complexe : additionner (2x + 1) / (x^2 – 1) et (3x – 2) / (x + 1). La première étape consiste à trouver un dénominateur commun pour les deux fractions. Ici, le dénominateur commun est (x^2 – 1)(x + 1). Nous devons donc multiplier chaque fraction par le nombre qui permet d’obtenir ce dénominateur commun lorsqu’il est ajouté. En multipliant la première fraction par (x + 1) / (x + 1) et la deuxième fraction par (x^2 – 1) / (x^2 – 1), nous obtenons ((2x + 1)(x + 1) + (3x – 2)(x – 1)) / (x^2 – 1)(x + 1).

Maintenant, nous pouvons simplifier l’expression en développant les produits dans le numérateur : (2x^2 + 2x + x + 1 + 3x^2 – 3x – 2x + 2) / (x^2 – 1)(x + 1). En regroupant les termes similaires, nous obtenons (5x^2 – 2) / (x^2 – 1)(x + 1).

Continuons avec un exercice de multiplication : multiplions (x^2 – 4) / (x + 3) par (x – 2) / (x^2 + 2x + 1). La technique ici consiste à effacer les parenthèses et à multiplier les termes correspondants ensemble. En multipliant les numérateurs, nous obtenons (x^2 – 4)(x – 2), tandis que le dénominateur reste inchangé. Dans le dénominateur, nous pouvons simplifier x^2 + 2x + 1 en (x + 1)^2.

En développant le numérateur, nous obtenons x^3 – 2x^2 – 4x + 8. L’expression finale est donc (x^3 – 2x^2 – 4x + 8) / (x + 3)(x + 1)^2.

Terminons par un exercice de division : divisons (x^3 – 5x^2 + 4x – 3) par (x – 2). Pour diviser des fractions algébriques, nous devons multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde fraction. L’inverse de (x – 2) est 1 / (x – 2).

En multipliant numérateur et dénominateur par 1 / (x – 2), nous obtenons (x^3 – 5x^2 + 4x – 3) / (x – 2) * (1 / (x – 2)). Nous simplifions ensuite l’expression en effectuant la multiplication : (x^3 – 5x^2 + 4x – 3) / (x – 2)*(1 / (x – 2)) = (x^3 – 5x^2 + 4x – 3) / (x – 2)^2.

Dans cet article, nous avons abordé différents exercices sur les fractions algébriques. Ces exemples soulignent l’importance de la factorisation et de la recherche de dénominateurs communs pour simplifier les expressions, ainsi que l’utilisation de l’inverse pour effectuer des divisions. Avec de la pratique et une bonne compréhension de ces concepts, les fractions algébriques deviendront plus familières et plus faciles à manipuler.

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