Exercices sur les fonctions rationnelles fractionnaires

Avant de commencer les exercices, il est important de comprendre les concepts de base des fonctions rationnelles fractionnaires. Une fonction rational fractionnaire est généralement écrite sous la forme f(x) = P(x)/Q(x), où P(x) et Q(x) sont deux polynômes et Q(x) n’est pas égal à zéro.

Exercice 1 : Simplifier la fonction rationnelle fractionnaire f(x) = (3x^2 – 2x + 1)/(2x^2 + 4x – 3).
Pour simplifier cette fonction, nous devons factoriser le numérateur et le dénominateur. Nous obtenons f(x) = (3x – 1)(x + 1)/(2x – 1)(x + 3).

Exercice 2 : Trouver le domaine de définition de la fonction rationnelle fractionnaire g(x) = 1/(x^2 – 9).
Le dénominateur de g(x) est x^2 – 9. Pour trouver le domaine de définition, nous devons exclure les valeurs de x qui rendent le dénominateur égal à zéro. Dans ce cas, x ne peut pas être égal à +3 ou -3. Donc, le domaine de définition de g(x) est l’ensemble des réels sauf 3 et -3.

Exercice 3 : Trouver les asymptotes horizontales de la fonction rationnelle fractionnaire h(x) = (2x^3 + 5x^2 + 3)/(3x^2 + 2x – 1).
Pour trouver les asymptotes horizontales, nous devons comparer les degrés des polynômes du numérateur et du dénominateur. Si le degré du numérateur est supérieur, il n’y a pas d’asymptote horizontale. Sinon, si le degré du numérateur est inférieur ou égal au degré du dénominateur, nous devons diviser les polynômes. Dans ce cas, le degré du numérateur est 3 et le degré du dénominateur est 2. Donc, nous devons diviser 2x^3 + 5x^2 + 3 par 3x^2 + 2x – 1. Après la division, nous obtenons un quotient de 2x – 1 et un reste de 7x + 4. Donc, l’asymptote horizontale est y = 2x – 1.

Exercice 4 : Trouver les asymptotes verticales de la fonction rationnelle fractionnaire k(x) = (x^2 + 4x + 4)/(x^2 – 9).
Pour trouver les asymptotes verticales, nous devons trouver les zéros du dénominateur. Dans ce cas, le dénominateur est x^2 – 9, qui peut être factorisé en (x – 3)(x + 3). Donc, les asymptotes verticales sont x = 3 et x = -3.

Exercice 5 : Trouver les points d’intersection entre les courbes des fonctions rationnelles fractionnaires f(x) = (x^2 – 4)/(x – 2) et g(x) = x + 2.
Pour trouver les points d’intersection, nous devons égaliser les deux fonctions f(x) et g(x). Dans ce cas, (x^2 – 4)/(x – 2) = x + 2. Après avoir simplifié cette équation, nous obtenons x^2 – 4 = (x + 2)(x – 2), ce qui se réduit à x^2 – 4 = x^2 – 4. Donc, les deux fonctions sont égales pour tous les x sauf x = 2. Donc, le point d’intersection est (2, 4).

Ces exercices donnent un aperçu des différents domaines d’application des fonctions rationnelles fractionnaires, tels que la simplification, les domaines de définition, les asymptotes horizontales et verticales, ainsi que les points d’intersection. En pratiquant ces exercices, vous renforcerez votre compréhension des fonctions rationnelles fractionnaires et développerez vos compétences en manipulation de polynômes.