Exercices sur les fonctions logarithmiques

Le premier exercice consiste à résoudre une équation logarithmique simple. Par exemple, résoudre l’équation log(x) = 2, revient à trouver la valeur de x qui satisfait cette équation. Pour résoudre ce type d’exercice, il faut appliquer la définition de la fonction logarithmique, qui nous dit que log(x) est égal à y si et seulement si x est égal à la puissance y de la base du logarithme. Ainsi, pour résoudre log(x) = 2, nous devons trouver quelle est la puissance à laquelle nous devons élever la base du logarithme pour obtenir 2. Dans ce cas, la base du logarithme est 10 (par défaut, si aucun autre indice n’est précisé), donc nous devons résoudre 10^y = 2. En prenant le logarithme de base 10 des deux côtés de l’équation, nous obtenons y = log(2) ≈ 0,3010. Par conséquent, x est égal à 10^0,3010, soit environ 2, donc la solution de l’équation est x = 2.

Le deuxième exercice porte sur les propriétés des logarithmes. Par exemple, on peut demander de simplifier l’expression log(x) + log(y). Pour résoudre cet exercice, il faut utiliser la règle selon laquelle la somme de deux logarithmes ayant la même base (ici, log(x) et log(y) ont tous les deux la base 10) est égale au logarithme de leur produit. Ainsi, log(x) + log(y) peut être simplifié en log(xy).

Un autre exercice consiste à résoudre des équations logaritmiques plus complexes, telles que log(x+2) – log(x-1) = 2. Dans ce cas, il faut utiliser la règle du changement de base pour simplifier l’équation. En utilisant le logarithme de base 10 des deux côtés de l’équation, on obtient 1/log(x+2) – 1/log(x-1) = 2. Ensuite, il faut isoler chaque logarithme de chaque côté de l’équation et simplifier, ce qui conduit à 1/log(x+2) = 2 + 1/log(x-1). En multipliant chaque terme par log(x+2) et en simplifiant, on obtient 1 = (2log(x+2) + log(x-1))/log(x-1). Pour résoudre cette équation, il est nécessaire de trouver la valeur de x qui satisfait cette égalité.

Enfin, un dernier exercice porte sur l’utilisation des propriétés des logarithmes pour résoudre des équations exponentielles. Par exemple, si on nous demande de résoudre l’équation 2^x = 8, il faut utiliser la propriété inverse de la fonction logarithme, qui est l’exponentielle. Nous savons que 2^x = 8 est équivalent à log(base 2) 8 = x. Donc, pour résoudre cette équation, il suffit de trouver la valeur de x qui satisfait cette équation logarithmique.

En conclusion, les exercices sur les fonctions logarithmiques sont essentiels pour améliorer sa compréhension de ce concept mathématique clé. En s’entraînant régulièrement à résoudre ces exercices, on peut acquérir une maîtrise solide des propriétés et des techniques liées aux fonctions logarithmiques, ce qui peut être bénéfique dans de nombreux domaines.