Exercices sur les fonctions exponentielles : solutions

Les fonctions exponentielles occupent une place importante en mathématiques, que ce soit dans l’analyse, la géométrie ou l’algèbre. Elles sont largement utilisées pour modéliser des phénomènes tels que la croissance ou la décroissance exponentielle. Dans cet article, nous allons vous présenter quelques exercices sur les fonctions exponentielles, accompagnés de leurs solutions détaillées.

Exercice 1 : Trouver la solution de l’équation f(x) = 3^x – 2^x = 0.

Solution : Pour résoudre cette équation, nous pouvons utiliser une propriété des fonctions exponentielles. En effet, si deux bases d’exponentielles sont égales, alors les exposants correspondants doivent également être égaux. Donc, nous avons :

3^x – 2^x = 0

Si nous posons y = 2^x, alors l’équation devient :

3^x – y = 0

En élevant chaque côté de l’équation à la puissance log(base 3), nous avons :

(3^x)^(log(base 3)) = y^(log(base 3))

3^x = y^(log(base 3))

3^x = (2^x)^(log(base 3))

3^x = 2^(x * log(base 3))

Maintenant, en posant z = 3^x, nous avons :

z = 2^(x * log(base 3))

Nous avons donc transformé notre équation initiale en une équation plus simple. En élevant chaque côté de cette équation à la puissance log(base 2), nous avons :

z^(log(base 2)) = (2^(x * log(base 3)))^(log(base 2))

z^(log(base 2)) = (2^log(base 2))^(x * log(base 3))

z^(log(base 2)) = 2^(x * log(base 3) * log(base 2))

z^(log(base 2)) = 2^(x * log(base 6))

En utilisant encore la propriété des fonctions exponentielles, nous pouvons égaler les exposants :

log(base 2) * z = x * log(base 6)

x = (log(base 2) * z) / log(base 6)

Donc, la solution de l’équation f(x) = 3^x – 2^x = 0 est x = (log(base 2) * z) / log(base 6), où z est une valeur strictement positive.

Exercice 2 : Trouver la solution de l’équation f(x) = 2^(3x) – 8 = 0.

Solution : Pour résoudre cette équation, nous pouvons remarquer que 8 est en réalité 2^3. Donc, nous avons :

2^(3x) – 8 = 0

2^(3x) – 2^3 = 0

En utilisant la propriété des fonctions exponentielles, nous pouvons égaler les exposants :

3x = 3

x = 1

Donc, la solution de l’équation f(x) = 2^(3x) – 8 = 0 est x = 1.

Ces deux exercices illustraient différentes approches pour résoudre des équations contenant des fonctions exponentielles. Il est important de se rappeler des propriétés de ces fonctions afin de faciliter leurs résolutions. Avec de la pratique, vous serez en mesure de résoudre plus facilement ce type d’équations.

En conclusion, les fonctions exponentielles sont un outil puissant en mathématiques. Elles permettent de modéliser des phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle. Les exercices présentés ici vous ont montré comment résoudre des équations contenant des fonctions exponentielles en utilisant différentes techniques. Il est important de comprendre ces techniques et de les appliquer correctement pour obtenir des résultats précis. Continuez à pratiquer et à vous familiariser avec ces concepts, et vous deviendrez un expert dans la résolution d’équations exponentielles.